Análisis Matemático II · 120 h · Contenido 1 de 8

Funciones vectoriales de una variable real

Cuando una función devuelve un vector en lugar de un número, describe un movimiento. Derivarla da la velocidad; derivar otra vez, la aceleración, y de ahí sale casi toda la cinemática.

Curvas paramétricas Vector tangente Longitud de arco Curvatura Frenet

01Una función que devuelve un vector

Hasta ahora las funciones tomaban un número y devolvían un número. Una función vectorial de una variable real toma un número —típicamente el tiempo— y devuelve un vector: la posición de algo que se mueve.

\vec{r} (t) = (x (t), y (t), z (t)) = x (t) \hat{i} + y (t) \hat{j} + z (t) \hat{k}

Cada componente es una función común. Al variar t, la punta del vector describe una curva, y t es su parámetro.

Curva	Ecuación vectorial	Dónde aparece
Recta	r(t) = r₀ + t·d	La de recta y plano, ahora leída como movimiento
Circunferencia	(R cos t, R sen t)	Un fasor girando: es la representación de la corriente alterna
Hélice	(R cos t, R sen t, c·t)	Trayectoria de un electrón en un campo magnético; un bobinado
Lissajous	(A sen(at), B sen(bt + φ))	Lo que dibuja un osciloscopio en modo XY

02Derivar: todo componente a componente

El límite, la continuidad y la derivada de una función vectorial se calculan en cada componente por separado. Eso hace que todo lo aprendido en Análisis I siga valiendo:

{\vec{r}}^{'} (t) = (x^{'} (t), y^{'} (t), z^{'} (t)) \vec{v} = {\vec{r}}^{'} \vec{a} = {\vec{r}}^{″}

La derivada es un vector tangente a la curva y apunta en el sentido de avance. Su módulo, |r′(t)|, es la rapidez.

Las reglas de derivación se extienden con una salvedad importante: hay dos productos. Para el escalar, (u · v)′ = u′ · v + u · v′; para el vectorial, (u × v)′ = u′ × v + u × v′, y acá el orden no se puede alterar, porque el producto vectorial no es conmutativo.

Un resultado que se usa todo el tiempo

Si |r(t)| es constante —el móvil se mueve sobre una esfera o una circunferencia—, entonces r · r′ = 0: la velocidad es perpendicular a la posición. Es lo que explica que en un movimiento circular uniforme la aceleración apunte al centro, y por qué un electrón en un campo magnético gira sin cambiar su rapidez: la fuerza es siempre perpendicular a la velocidad y no hace trabajo.

03Longitud de arco

L = \int_{a}^{b} | {\vec{r}}^{'} (t) | d t = \int_{a}^{b} \sqrt{{(x^{'})}^{2} + {(y^{'})}^{2} + {(z^{'})}^{2}} d t

Es «rapidez por tiempo», sumada: exactamente la misma idea con la que se calcula la distancia recorrida en un viaje.

Cuando la curva se parametriza con la propia longitud recorrida, el parámetro arco s, la rapidez vale 1 y las fórmulas se simplifican. Es la parametrización «natural»: recorrer la curva a velocidad constante unitaria.

04Cómo se curva una trayectoria

En cada punto de la curva se definen tres vectores perpendiculares entre sí, el triedro de Frenet:

Tangente unitario T = r′/|r′|: hacia dónde va.
Normal principal N = T′/|T′|: hacia dónde se dobla, siempre apuntando al lado cóncavo.
Binormal B = T × N: perpendicular al plano en el que la curva se está curvando.

κ = \frac{| {\vec{r}}^{'} \times {\vec{r}}^{″} |}{{| {\vec{r}}^{'} |}^{3}} ρ = \frac{1}{κ} \vec{a} = \frac{d | \vec{v} |}{d t} \hat{T} + κ {| \vec{v} |}^{2} \hat{N}

κ es la curvatura y ρ = 1/κ el radio del círculo que mejor se ajusta a la curva ahí. La aceleración se parte en dos: la que cambia la rapidez y la que cambia la dirección.

Laboratorio · recorrer una curva

Movés el parámetro y ves el vector tangente, el normal, la rapidez y el círculo que mejor se ajusta a la curva en ese punto.

t 0,8 Círculo osculador

05Dónde aparecen en electrónica y en física

El fasor. Una tensión senoidal se representa con r(t) = V(cos ωt, sen ωt): una función vectorial cuyo módulo es constante y cuya derivada, perpendicular, adelanta 90°. Esa perpendicularidad es el desfasaje entre tensión y corriente en un capacitor. Se ve en el estudio vectorial de la corriente alterna.
Carga en un campo magnético. Con velocidad no paralela al campo, la trayectoria es una hélice: circunferencia en el plano perpendicular y avance uniforme a lo largo de B. Es el principio del ciclotrón y de los tubos de rayos catódicos.
Figuras de Lissajous. Dos señales en los ejes X e Y del osciloscopio son una curva paramétrica; la relación de frecuencias determina la figura y el desfasaje, su inclinación.
Robótica y CNC. La trayectoria de una herramienta es r(t), y el control necesita velocidad y aceleración acotadas: por eso las esquinas se redondean, porque una curvatura infinita exigiría aceleración infinita.

06En el laboratorio

Práctica 1 · Lissajous en el osciloscopio

Con dos generadores en modo XY, obtener las figuras para relaciones 1:1, 1:2 y 3:2, y medir el desfasaje a partir de la inclinación de la elipse. Escribir la función vectorial de cada figura. Se puede ensayar primero en el simulador de instrumental.

Práctica 2 · Longitud de una trayectoria

Calcular la longitud de un arco de hélice de radio 5 cm y paso 2 cm, para una vuelta completa, y verificarla midiendo el alambre necesario para bobinarla.

Práctica 3 · Aceleración en dos componentes

Para un móvil que recorre una curva con rapidez creciente, calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración en tres puntos y verificar que la suma vectorial coincide con r″.

07Errores frecuentes

Confundir la curva con la función: la misma curva admite infinitas parametrizaciones, que la recorren a distintas velocidades.
Derivar el módulo en lugar del vector: |r|′ no es |r′|.
Alterar el orden en (u × v)′.
Olvidar normalizar al calcular T y N.
Creer que aceleración nula implica velocidad constante en dirección: en un movimiento circular uniforme la rapidez es constante pero la aceleración no es nula.

08Autoevaluación

Para r(t) = (cos t, sen t, t), hallar v y su módulo.

v = (−sen t, cos t, 1) y |v| = √(sen² + cos² + 1) = √2, constante: la hélice se recorre a rapidez uniforme.

¿Cuál es la longitud de una vuelta de esa hélice?

L = ∫₀^2π √2 dt = 2π√2 ≈ 8,89.

¿Por qué en un movimiento circular uniforme r · v = 0?

Porque |r| es constante: derivando r · r = cte se obtiene 2 r · r′ = 0.

¿Qué mide la curvatura?

Cuánto se dobla la curva por unidad de longitud. Su inversa es el radio del círculo osculador: recta → κ = 0; circunferencia de radio R → κ = 1/R.

Un móvil acelera mientras dobla. ¿Cómo se reparte su aceleración?

En una componente tangencial, d|v|/dt, que cambia la rapidez, y una normal, κ|v|², que cambia la dirección.

09Para ampliar

James Stewart. Cálculo de varias variables. Trascendentes tempranas. 7.ª ed., Cengage Learning, 2012. El capítulo 13 desarrolla funciones vectoriales, longitud de arco y curvatura con buenas figuras.
Jerrold E. Marsden y Anthony J. Tromba. Cálculo vectorial. 5.ª ed., Pearson, 2004. El texto de referencia de la materia, más exigente y con excelentes aplicaciones físicas.
Raymond A. Serway y John W. Jewett. Física para ciencias e ingeniería. 9.ª ed., Cengage Learning, 2014. El movimiento de cargas en campos magnéticos, que es el ejemplo físico central de este tema.

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