Funciones continuas
Que una función sea continua no es un detalle técnico: es lo que permite asegurar que existe una raíz, que hay un máximo y que la tensión de un capacitor no puede dar saltos.
01Tres condiciones, no una
Una función es continua en un punto a cuando se cumplen las tres cosas a la vez:
La imagen intuitiva —«se dibuja sin levantar el lápiz»— sirve para empezar, pero es imprecisa: hay funciones continuas imposibles de dibujar. La definición de arriba es la que se usa.
02Las tres maneras de fallar
El límite existe, pero f(a) no existe o vale otra cosa. Se arregla redefiniendo la función en ese único punto.
Los dos laterales existen y son finitos, pero distintos. La diferencia es la amplitud del salto. No se arregla de ninguna manera.
Algún lateral es infinito o no existe, como en 1/x en el cero o en sen(1/x). Es la peor.
La función es la misma a los costados; lo que cambia es qué pasa en el punto y cómo se llega a él.
03Qué funciones son continuas
La suma, la resta, el producto y el cociente de funciones continuas son continuos —el cociente, donde el denominador no se anula—, y la composición de continuas es continua. Con eso alcanza para casi todo, porque las funciones elementales son continuas en su dominio:
| Función | Continua en | Dónde falla |
|---|---|---|
| Polinómicas | Todo R | En ningún lado |
| Racionales | Su dominio | Donde se anula el denominador |
| Exponencial y seno/coseno | Todo R | En ningún lado |
| Logaritmo | (0, ∞) | En x ≤ 0 no está definido |
| Tangente | Su dominio | En π/2 + kπ: discontinuidad infinita |
| Definidas por tramos | Adentro de cada tramo | Hay que estudiar los puntos de empalme |
Por eso, en la práctica, estudiar la continuidad de una función dada por una fórmula se reduce a mirar los puntos «sospechosos»: denominadores nulos, cambios de rama y bordes del dominio.
04Los tres teoremas que dan poder
Una función continua en un intervalo cerrado [a, b] tiene propiedades que se usan todo el tiempo, muchas veces sin nombrarlas:
Si f es continua en [a, b] y f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces existe al menos un c entre a y b con f(c) = 0. Dicho de otro modo: para pasar de negativo a positivo sin saltar, hay que cruzar el cero.
La generalización: f toma todos los valores entre f(a) y f(b). Si un termómetro marcó 18 °C a la mañana y 27 °C a la tarde, en algún momento marcó exactamente 22,5 °C.
Una función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza un máximo y un mínimo absolutos. No sólo se acerca: los alcanza en algún punto. Es la garantía de que un problema de optimización tiene solución antes de salir a buscarla.
Las tres hipótesis importan. En (0, 1], que no es cerrado, f(x) = 1/x es continua y no tiene máximo.
05Bolzano en acción: el método de bisección
Bolzano no sólo asegura que la raíz existe: indica cómo encontrarla. Si f cambia de signo en el intervalo, se lo parte al medio y se conserva la mitad donde el cambio de signo persiste. Cada paso divide por dos el error.
Es lento comparado con otros métodos, pero nunca falla si hay cambio de signo, y el error está acotado de antemano: después de n pasos es menor que (b − a)/2n. Diez pasos dividen el intervalo inicial por más de mil.
06Continuidad en los circuitos
La tensión de un capacitor y la corriente de un inductor son funciones continuas del tiempo: no pueden dar saltos. Si la tensión del capacitor saltara, la corriente i = C·dv/dt sería infinita; si saltara la corriente del inductor, la tensión v = L·di/dt lo sería. Esa es la razón física de las condiciones iniciales con que se resuelve cualquier transitorio.
- Lo que sí salta. La tensión sobre un resistor, la corriente de un capacitor y la tensión de un inductor pueden cambiar de golpe: son las variables «no continuas» del circuito.
- Velocidad de respuesta. Un amplificador operacional real no puede seguir un flanco vertical: su slew rate limita la pendiente. La señal de salida sigue siendo continua, pero con una rampa en lugar del salto ideal.
- Disparador Schmitt. Su característica de transferencia sí es discontinua a propósito: salta entre dos niveles, y con histéresis, para no oscilar ante el ruido.
- Cuantización. La salida de un conversor A/D es una escalera: una función continua a tramos con saltos de un bit menos significativo. Ese salto es, justamente, el error de cuantización que se estudia en conversores A/D y D/A.
07En el laboratorio
Dada f(x) = (x² − 4)/(x − 2) para x ≠ 2 y f(2) = k, hallar el k que la vuelve continua. Repetir con una función partida donde el parámetro esté dentro de una de las ramas.
Programar la bisección en una planilla o en C para resolver la ecuación del circuito con diodo de la sección 5 —una fuente de 5 V, 1 kΩ en serie y el diodo con su ecuación exponencial—, con 1 µA de tolerancia. Comparar con el valor que da una simulación y con el modelo simplificado de 0,7 V.
En un circuito RC, disparar un escalón y observar en dos canales la tensión del capacitor y la corriente. Verificar que la tensión no salta y que la corriente sí. Repetir con un inductor, intercambiando los papeles.
08Errores frecuentes
- Verificar sólo el límite y olvidar que f(a) tiene que existir y coincidir.
- Llamar evitable a un salto. Si los laterales son distintos, no hay redefinición que lo arregle.
- Aplicar Bolzano sin cambio de signo, o en un intervalo donde la función no es continua.
- Usar Weierstrass en un intervalo abierto. Las hipótesis del teorema no son decorativas.
- Suponer que la corriente de un inductor puede cortarse de golpe: ahí aparece el arco en el contacto de un relé, y por eso se pone el diodo de rueda libre.
09Autoevaluación
¿Qué tipo de discontinuidad tiene f(x) = (x² − 1)/(x − 1) en x = 1?
Evitable: el límite existe y vale 2; basta definir f(1) = 2.
¿Y f(x) = 1/(x − 3) en x = 3?
Infinita: los laterales tienden a −∞ y +∞.
¿Para qué k es continua f(x) = 3x + k si x ≤ 2, y x² si x > 2?
Igualando los laterales en 2: 6 + k = 4, así que k = −2.
¿Cuántos pasos de bisección hacen falta para achicar un intervalo de 1 a menos de 0,001?
2n > 1000 → n = 10, porque 210 = 1024.
¿Por qué no puede saltar la tensión de un capacitor?
Porque i = C·dv/dt: un salto implicaría derivada infinita y, por lo tanto, corriente infinita, que ninguna fuente real puede entregar.
Una señal vale −2 V en t = 0 y +3 V en t = 1 ms, y el circuito es continuo. ¿Pasó por cero?
Sí: por el teorema de Bolzano, en algún instante entre los dos valió exactamente 0 V.
10Para ampliar
- James Stewart. Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. 7.ª ed., Cengage Learning, 2012. Continuidad, tipos de discontinuidad y el teorema del valor intermedio con ejemplos aplicados.
- Michael Spivak. Calculus. 3.ª ed., Reverté, 2012. Demuestra Bolzano, valor intermedio y Weierstrass desde la completitud de los reales.
- Richard L. Burden y J. Douglas Faires. Análisis numérico. 9.ª ed., Cengage Learning, 2011. El capítulo 2 compara bisección, punto fijo y Newton-Raphson, con sus cotas de error.