Análisis Matemático I · 120 h · Contenido 2 de 10

Límite de funciones reales

El límite pregunta a qué valor se acerca una función cerca de un punto, sin importar lo que pase exactamente en él. De esa distinción salen la derivada, la integral y el régimen permanente.

Épsilon y delta Laterales Indeterminaciones Límites notables Asíntotas

01Qué pasa cerca, no qué pasa en el punto

El límite responde una pregunta muy precisa: a qué valor se acerca f(x) cuando x se acerca a un número a, sin llegar nunca a él. Lo que ocurra exactamente en x = a no interviene; la función puede incluso no estar definida ahí.

El ejemplo que fija la idea

f(x) = (x² − 1)/(x − 1) no existe en x = 1: da 0/0. Pero para todo x ≠ 1 se puede simplificar, porque x² − 1 = (x − 1)(x + 1), y queda f(x) = x + 1.

Entonces, acercándose a 1, la función se acerca a 2. Se escribe lím_x→1 f(x) = 2, y no importa que f(1) no exista.

Esa distinción, «cerca» contra «en», es lo que permite hablar de velocidad instantánea, de pendiente de una curva y de régimen permanente. Todo el cálculo se apoya en ella.

02La definición formal

«Acercarse» no es una frase matemática. La versión rigurosa, de Cauchy y Weierstrass, convierte el acercamiento en un desafío entre dos tolerancias:

\underset{x \to a}{lím} f (x) = L ⟺ \forall ε > 0, \exists δ > 0 : 0 < | x - a | < δ ⟹ | f (x) - L | < ε

Leído en voz alta: por chica que sea la franja ε alrededor de L, siempre se puede encontrar una franja δ alrededor de a tal que toda la función, salvo quizás en a, entre en la franja.

Es un juego de dos

Uno propone una tolerancia ε —«quiero la salida dentro de ±0,01»— y el otro tiene que responder con una δ —«entonces mantené la entrada dentro de ±0,003»—. Si existe respuesta para toda exigencia, el límite es L. Es la misma lógica de una especificación de ingeniería: cuánto puede variar la entrada para que la salida se mantenga dentro de tolerancia.

El 0 < |x − a| de la izquierda es el detalle que excluye al propio punto a. Por eso el límite puede existir aunque la función no esté definida ahí, o aunque valga otra cosa.

Laboratorio · el juego de ε y δ

Elegí una función y achicá ε. Si para cada ε se encuentra una δ que sirve, el límite existe.

ε 0,8 δ 0,6

03Límites laterales

Se puede llegar a un punto por izquierda o por derecha, y el resultado puede ser distinto:

\underset{x \to a^{-}}{lím} f (x) y \underset{x \to a^{+}}{lím} f (x)

El límite existe si y sólo si los dos laterales existen y son iguales.

El caso típico es el escalón: una señal que pasa de 0 a 5 V tiene límite 0 por izquierda y 5 por derecha, así que en el instante del flanco el límite no existe. No es una patología matemática: es exactamente lo que se ve en el osciloscopio.

04Cómo se calculan en la práctica

Si los límites de f y g existen y son finitos, el límite de la suma es la suma, el del producto es el producto y el del cociente es el cociente siempre que el denominador no tienda a cero. Con eso, la mayoría de los límites se resuelven reemplazando: si la función es continua en a, el límite es f(a).

El trabajo aparece en las indeterminaciones, que son las combinaciones donde el álgebra no alcanza:

Indeterminación	Cómo se sale	Ejemplo
0/0	Factorizar y simplificar, o racionalizar	(x² − 4)/(x − 2) → x + 2 → 4
∞/∞	Dividir numerador y denominador por la mayor potencia	(3x² + x)/(5x² − 1) → 3/5
∞ − ∞	Sacar factor común o multiplicar por el conjugado	√(x² + x) − x → 1/2
0 · ∞	Reescribir como cociente	x·ln x cuando x → 0⁺ → 0
1^∞	Llevar al límite notable del número e	(1 + 1/x)^x → e

Y dos límites notables que conviene tener memorizados, porque aparecen todo el tiempo:

\underset{x \to 0}{lím} \frac{sen x}{x} = 1 \underset{x \to \infty}{lím} {(1 + \frac{1}{x})}^{x} = e

El primero, con x en radianes, es el que justifica la aproximación sen x ≈ x para ángulos chicos, tan usada al linealizar. El segundo define el número e, que gobierna toda carga y descarga.

05Límites infinitos y asíntotas

Situación	Significa	En el gráfico
lím_x→a f(x) = ±∞	Crece sin cota al acercarse a a	Asíntota vertical en x = a
lím_x→±∞ f(x) = L	Se estabiliza en L a la larga	Asíntota horizontal y = L
lím_x→∞ [f(x) − (mx + h)] = 0	Se pega a una recta inclinada	Asíntota oblicua

Para una función racional, el comportamiento en el infinito lo decide comparar los grados: si el del numerador es menor, la asíntota horizontal es y = 0; si son iguales, es el cociente de los coeficientes principales; si el numerador supera al denominador en un grado, hay asíntota oblicua.

Esto es exactamente lo que se hace al trazar un diagrama de Bode: se estudia la función de transferencia para ω → 0 y para ω → ∞, y las asíntotas dan las rectas de −20 dB por década.

06Límites que se miden con el osciloscopio

Régimen permanente. Un capacitor que se carga sigue v(t) = V(1 − e^−t/RC). El límite para t → ∞ es V: la tensión final. En la práctica se acepta que «llegó» a las cinco constantes de tiempo, donde falta menos del 1 %.
Ganancia de un amplificador realimentado. Con ganancia de lazo abierto A y realimentación β, la ganancia resulta A/(1 + Aβ). El límite para A → ∞ es 1/β: por eso el amplificador operacional ideal se analiza como si su ganancia fuera infinita, y por eso la ganancia final la fijan los resistores.
Comportamiento asintótico de un filtro. Para ω → 0 un pasa-bajos deja pasar todo y para ω → ∞ atenúa; las asíntotas de ese límite son las rectas del diagrama de Bode.
Flancos. En un flanco ideal el límite por izquierda y por derecha difieren: el límite no existe. Ningún circuito real conmuta en tiempo cero, y esa es justamente la diferencia entre el modelo y el osciloscopio.

07En el laboratorio

Práctica 1 · El límite, con tabla de valores

Para f(x) = (√(x + 4) − 2)/x, armar una tabla con x = ±0,1; ±0,01; ±0,001 y conjeturar el límite en 0. Después calcularlo racionalizando y comparar. (Da 1/4.)

Práctica 2 · Medir una constante de tiempo

Cargar un capacitor con un escalón y medir en el osciloscopio el tiempo hasta el 63 %, el 95 % y el 99 % del valor final. Verificar que corresponden a 1, 3 y 5 constantes de tiempo, y discutir por qué el valor final es un límite y no un valor alcanzado.

Práctica 3 · Asíntotas de un filtro

Medir la respuesta de un RC pasa-bajos en varias frecuencias, graficarla en escala logarítmica y trazar las dos asíntotas. Comprobar que se cruzan en la frecuencia de corte. Se puede ensayar en el simulador de instrumental.

08Errores frecuentes

Reemplazar y quedarse con 0/0 como si fuera un resultado: es una indeterminación, hay que trabajarla.
Confundir f(a) con el límite: pueden ser distintos, y el límite puede existir sin que f(a) exista.
Olvidar los laterales en funciones definidas por tramos o con valor absoluto.
Escribir ∞ como si fuera un número y «simplificar» ∞/∞.
Usar sen x ≈ x con x en grados. El límite notable vale en radianes.
Creer que una asíntota no se puede cruzar: una horizontal puede cruzarse muchas veces antes de estabilizarse.

09Autoevaluación

Calcular lím_x→3 (x² − 9)/(x − 3).

Factorizando: (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3 → 6.

lím_x→∞ (2x³ − x)/(5x³ + 4x²).

Dividiendo todo por x³: 2/5.

¿Existe el límite en 0 de f(x) = |x|/x?

No: por derecha da 1 y por izquierda −1. Los laterales existen pero no coinciden.

lím_x→0 sen(5x)/x.

Se acomoda al límite notable: 5·sen(5x)/(5x) → 5.

¿Qué asíntotas tiene f(x) = (2x + 1)/(x − 3)?

Vertical en x = 3 y horizontal en y = 2, el cociente de los coeficientes principales.

Un capacitor se carga a 12 V con τ = 2 ms. ¿Cuál es el límite de v(t) y cuánto vale a los 10 ms?

El límite es 12 V. A los 10 ms, que son 5τ, v = 12(1 − e⁻⁵) ≈ 11,92 V: el 99,3 %.

10Para ampliar

James Stewart. Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. 7.ª ed., Cengage Learning, 2012. El capítulo 2 desarrolla el límite con tablas, gráficos y la definición ε-δ en ese orden.
Hebe Rabuffetti. Introducción al análisis matemático (Cálculo 1). El Ateneo. Trata los límites laterales y las indeterminaciones con la notación que se usa en las facultades argentinas.
Michael Spivak. Calculus. 3.ª ed., Reverté, 2012. Para el que quiera el rigor completo: la definición de límite demostrada con todo detalle.

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