Límite de funciones reales
El límite pregunta a qué valor se acerca una función cerca de un punto, sin importar lo que pase exactamente en él. De esa distinción salen la derivada, la integral y el régimen permanente.
01Qué pasa cerca, no qué pasa en el punto
El límite responde una pregunta muy precisa: a qué valor se acerca \( f(x) \) cuando \( x \) se acerca a un número a, sin llegar nunca a él. Lo que ocurra exactamente en \( x = a \) no interviene; la función puede incluso no estar definida ahí.
\( f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) \) no existe en \( x = 1 \): da \( 0/0 \). Pero para todo \( x \ne 1 \) se puede simplificar, porque \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \), y queda \( f(x) = x + 1 \).
Entonces, acercándose a 1, la función se acerca a 2. Se escribe \( \lim_{x\to 1} f(x) = 2 \), y no importa que \( f(1) \) no exista.
Esa distinción, «cerca» contra «en», es lo que permite hablar de velocidad instantánea, de pendiente de una curva y de régimen permanente. Todo el cálculo se apoya en ella.
02La definición formal
«Acercarse» no es una frase matemática. La versión rigurosa, de Cauchy y Weierstrass, convierte el acercamiento en un desafío entre dos tolerancias:
Uno propone una tolerancia \( \varepsilon \) —«quiero la salida dentro de \( \pm 0{,}01 \)»— y el otro tiene que responder con una \( \delta \) —«entonces mantené la entrada dentro de \( \pm 0{,}003 \)»—. Si existe respuesta para toda exigencia, el límite es \( L \). Es la misma lógica de una especificación de ingeniería: cuánto puede variar la entrada para que la salida se mantenga dentro de tolerancia.
El 0 < |\( x - a \)| de la izquierda es el detalle que excluye al propio punto a. Por eso el límite puede existir aunque la función no esté definida ahí, o aunque valga otra cosa.
Elegí una función y achicá \( \varepsilon \). Si para cada \( \varepsilon \) se encuentra una \( \delta \) que sirve, el límite existe.
03Límites laterales
Se puede llegar a un punto por izquierda o por derecha, y el resultado puede ser distinto:
El caso típico es el escalón: una señal que pasa de 0 a 5 V tiene límite 0 por izquierda y 5 por derecha, así que en el instante del flanco el límite no existe. No es una patología matemática: es exactamente lo que se ve en el osciloscopio.
04Cómo se calculan en la práctica
Si los límites de f y g existen y son finitos, el límite de la suma es la suma, el del producto es el producto y el del cociente es el cociente siempre que el denominador no tienda a cero. Con eso, la mayoría de los límites se resuelven reemplazando: si la función es continua en a, el límite es f(a).
El trabajo aparece en las indeterminaciones, que son las combinaciones donde el álgebra no alcanza:
| Indeterminación | Cómo se sale | Ejemplo |
|---|---|---|
| \( 0/0 \) | Factorizar y simplificar, o racionalizar | \( \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} \to x + 2 \to 4 \) |
| \( \infty/\infty \) | Dividir numerador y denominador por la mayor potencia | \( \dfrac{3x^2 + x}{5x^2 - 1} \to \dfrac{3}{5} \) |
| \( \infty - \infty \) | Sacar factor común o multiplicar por el conjugado | \( \sqrt{x^{2} + x} - x \to \dfrac{1}{2} \) |
| \( 0 \cdot \infty \) | Reescribir como cociente | \( x \ln x \) cuando \( x \to 0^+ \), tiende a 0 |
| \( 1^{\infty} \) | Llevar al límite notable del número e | \( (1 + 1/x)^x \to e \) |
Y dos límites notables que conviene tener memorizados, porque aparecen todo el tiempo:
05Límites infinitos y asíntotas
| Situación | Significa | En el gráfico |
|---|---|---|
| \( \lim_{x\to a} f(x) = \pm \infty \) | Crece sin cota al acercarse a a | Asíntota vertical en \( x = a \) |
| \( \lim_{x\to \pm \infty} f(x) = L \) | Se estabiliza en L a la larga | Asíntota horizontal \( y = L \) |
| \( \lim_{x\to \infty} [f(x) - (mx + h)] = 0 \) | Se pega a una recta inclinada | Asíntota oblicua |
Para una función racional, el comportamiento en el infinito lo decide comparar los grados: si el del numerador es menor, la asíntota horizontal es \( y = 0 \); si son iguales, es el cociente de los coeficientes principales; si el numerador supera al denominador en un grado, hay asíntota oblicua.
Esto es exactamente lo que se hace al trazar un diagrama de Bode: se estudia la función de transferencia para \( \omega \to 0 \) y para \( \omega \to \infty \), y las asíntotas dan las rectas de \( -20\text{ dB} \) por década.
06Límites que se miden con el osciloscopio
- Régimen permanente. Un capacitor que se carga sigue \( v(t) = V(1 - e^{-t/RC}) \). El límite para \( t \to \infty \) es V: la tensión final. En la práctica se acepta que «llegó» a las cinco constantes de tiempo, donde falta menos del 1 %.
- Ganancia de un amplificador realimentado. Con ganancia de lazo abierto A y realimentación \( \beta \), la ganancia resulta \( A/(1 + A\beta ) \). El límite para \( A \to \infty \) es \( 1/\beta \): por eso el amplificador operacional ideal se analiza como si su ganancia fuera infinita, y por eso la ganancia final la fijan los resistores.
- Comportamiento asintótico de un filtro. Para \( \omega \to 0 \) un pasa-bajos deja pasar todo y para \( \omega \to \infty \) atenúa; las asíntotas de ese límite son las rectas del diagrama de Bode.
- Flancos. En un flanco ideal el límite por izquierda y por derecha difieren: el límite no existe. Ningún circuito real conmuta en tiempo cero, y esa es justamente la diferencia entre el modelo y el osciloscopio.
07En el laboratorio
Para \( f(x) = (\sqrt{x + 4} - 2)/x \), armar una tabla con \( x = \pm 0{,}1 \); \( \pm 0{,}01 \); \( \pm 0{,}001 \) y conjeturar el límite en 0. Después calcularlo racionalizando y comparar. (Da \( 1/4 \).)
Cargar un capacitor con un escalón y medir en el osciloscopio el tiempo hasta el 63 %, el 95 % y el 99 % del valor final. Verificar que corresponden a 1, 3 y 5 constantes de tiempo, y discutir por qué el valor final es un límite y no un valor alcanzado.
Medir la respuesta de un RC pasa-bajos en varias frecuencias, graficarla en escala logarítmica y trazar las dos asíntotas. Comprobar que se cruzan en la frecuencia de corte. Se puede ensayar en el simulador de instrumental.
08Errores frecuentes
- Reemplazar y quedarse con \( 0/0 \) como si fuera un resultado: es una indeterminación, hay que trabajarla.
- Confundir f(a) con el límite: pueden ser distintos, y el límite puede existir sin que f(a) exista.
- Olvidar los laterales en funciones definidas por tramos o con valor absoluto.
- Escribir \( \infty \) como si fuera un número y «simplificar» \( \infty/\infty \).
- Usar \( \operatorname{sen} x \approx x \) con x en grados. El límite notable vale en radianes.
- Creer que una asíntota no se puede cruzar: una horizontal puede cruzarse muchas veces antes de estabilizarse.
09Autoevaluación
Calcular \( \lim_{x\to 3} (x^2 - 9)/(x - 3) \).
Factorizando: \( (x - 3)(x + 3)/(x - 3) = x + 3 \to \) \( 6 \).
\( \lim_{x\to \infty} (2x^3 - x)/(5x^3 + 4x^2) \).
Dividiendo todo por \( x^3 \): \( 2/5 \).
¿Existe el límite en 0 de \( f(x) = |x|/x \)?
No: por derecha da 1 y por izquierda \( -1 \). Los laterales existen pero no coinciden.
\( \lim_{x\to 0} \) \( \operatorname{sen} (5x)/x \).
Se acomoda al límite notable: \( 5\cdot \operatorname{sen} (5x)/(5x) \to \) \( 5 \).
¿Qué asíntotas tiene \( f(x) = (2x + 1)/(x - 3) \)?
Vertical en \( x = 3 \) y horizontal en \( y = 2 \), el cociente de los coeficientes principales.
Un capacitor se carga a 12 V con \( \tau = 2\text{ ms} \). ¿Cuál es el límite de \( v(t) \) y cuánto vale a los 10 ms?
El límite es 12 V. A los 10 ms, que son \( 5\tau \), \( v = 12(1 - e^{-5}) \approx 11{,}92\text{ V} \): el 99,3 %.
10Para ampliar
- James Stewart. Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. 7.ª ed., Cengage Learning, 2012. El capítulo 2 desarrolla el límite con tablas, gráficos y la definición \( \varepsilon \)-\( \delta \) en ese orden.
- Hebe Rabuffetti. Introducción al análisis matemático (Cálculo 1). El Ateneo. Trata los límites laterales y las indeterminaciones con la notación que se usa en las facultades argentinas.
- Michael Spivak. Calculus. 3.ª ed., Reverté, 2012. Para el que quiera el rigor completo: la definición de límite demostrada con todo detalle.