Funciones de una variable real
Una función es una regla que a cada entrada le asigna una única salida. Con esa idea se describen la característica de un diodo, la ganancia de un amplificador y cualquier señal en el tiempo.
01Una entrada, una sola salida
Una función de una variable real es una regla que a cada número de un conjunto de partida le asigna uno y sólo un número del conjunto de llegada. Esa unicidad es toda la definición, y es lo que la hace útil en ingeniería: si el circuito es una función de la entrada, para cada entrada hay una salida bien determinada.
| Nombre | Qué es | Ejemplo con f(x) = √(x − 1) |
|---|---|---|
| Dominio | Los valores de entrada admitidos | [1, +∞): no hay raíz real de un negativo |
| Codominio | El conjunto donde caen las salidas, por convención R | R |
| Imagen | Los valores que la función realmente alcanza | [0, +∞) |
| Gráfico | Los pares (x, f(x)) dibujados en el plano | Media parábola acostada, con vértice en (1, 0) |
Una curva del plano es el gráfico de una función si y sólo si ninguna recta vertical la corta más de una vez. Por eso la circunferencia x² + y² = 1 no es una función: para x = 0 habría dos valores, 1 y −1. Se la parte en dos funciones, la semicircunferencia de arriba y la de abajo.
02Calcular el dominio
Cuando la función se da por su fórmula, el dominio es el conjunto más grande donde esa fórmula tiene sentido. Hay tres prohibiciones que cubren casi todos los casos:
- No dividir por cero: el denominador no puede anularse.
- No sacar raíz de índice par de un negativo.
- No tomar logaritmo de cero ni de un negativo.
Para f(x) = ln(x + 2) / √(4 − x²): hace falta x + 2 > 0, o sea x > −2; y 4 − x² > 0 —estricto, porque además está en el denominador—, o sea −2 < x < 2.
Intersecando: Dom f = (−2, 2).
En un problema de ingeniería el dominio suele achicarse todavía más por razones físicas: una resistencia no puede ser negativa, una frecuencia tampoco, y un tiempo se mide desde que se cierra la llave.
03Las familias que hay que reconocer de memoria
| Familia | Forma | Rasgo | Dónde aparece en electrónica |
|---|---|---|---|
| Polinómica | anxn + … + a₀ | Continua en todo R | Aproximaciones, ajustes de curvas de calibración |
| Racional | Cociente de polinomios | Asíntotas donde se anula el denominador | Funciones de transferencia: los ceros y los polos |
| Exponencial | ax, ex | Crece más rápido que cualquier potencia | Carga de un capacitor, corriente de un diodo |
| Logarítmica | logax | Inversa de la exponencial | El decibel, las escalas de Bode |
| Trigonométricas | sen x, cos x, tg x | Periódicas | Toda la corriente alterna |
| Definidas por tramos | Distinta fórmula por zona | Pueden tener saltos | Saturación de un amplificador, escalón, rectificación |
04Propiedades que se leen en el gráfico
Par si f(−x) = f(x): simétrica respecto del eje y, como x² o el coseno. Impar si f(−x) = −f(x): simétrica respecto del origen, como x³ o el seno. Sirve para ahorrar la mitad del trabajo, y en Fourier decide qué armónicas aparecen.
Creciente si a mayor entrada, mayor salida. Una función estrictamente monótona es automáticamente inyectiva, y por lo tanto invertible en su imagen.
Está acotada si su gráfico cabe entre dos rectas horizontales. Un amplificador real siempre está acotado: se llama saturación.
f(x + T) = f(x) para todo x. El menor T positivo es el período, y su inversa, la frecuencia.
Una función es inyectiva si entradas distintas dan salidas distintas —ninguna recta horizontal corta el gráfico dos veces—, sobreyectiva si alcanza todo el codominio, y biyectiva si es las dos cosas. Sólo las biyectivas tienen inversa.
05Combinar funciones
Las funciones se suman, se restan, se multiplican y se dividen punto a punto. Y además se componen, que es la operación propia de ellas: aplicar una al resultado de la otra.
Dos etapas de un circuito en cascada son una composición de funciones; por eso el orden importa. Y la inversa aparece cada vez que hace falta despejar: del decibel a la relación de potencias, de la lectura de un sensor a la temperatura real.
06Mover y deformar un gráfico
| Expresión | Efecto sobre el gráfico | En una señal |
|---|---|---|
| f(x) + k | Traslación vertical | Componente continua, offset |
| f(x − a) | Traslación horizontal hacia la derecha | Retardo |
| A · f(x) | Estiramiento vertical | Ganancia |
| f(k · x) | Compresión horizontal si k > 1 | Cambio de frecuencia |
| −f(x) · f(−x) | Reflexión respecto del eje x · del eje y | Inversión de fase · inversión temporal |
Una senoidal general, v(t) = V₀ + A·sen(ωt + φ), es la función seno con las cuatro transformaciones aplicadas a la vez. Reconocerlas evita tener que estudiar cada señal desde cero.
Elegí una función y mové los cuatro parámetros de y = A · f(k(x − a)) + c. La curva punteada es la inversa, espejada en y = x.
07La función de transferencia estática
La forma más directa en que aparece una función en electrónica es la característica de transferencia: la salida en función de la entrada, medida punto a punto y en continua.
- Amplificador ideal: vo = A·vi, una recta por el origen. Es lineal en el sentido estricto del álgebra.
- Amplificador real: la misma recta, pero acotada por las tensiones de alimentación. Es una función definida por tramos, y la zona plana es la saturación. Fuera del tramo recto ya no vale la superposición.
- Diodo: i = IS(ev/nVT − 1), exponencial pura. Que sea tan abrupta es lo que permite usarlo como interruptor.
- Termistor NTC: resistencia que decae exponencialmente con la temperatura; hay que invertir la función para leer la temperatura a partir de la resistencia medida.
- Decibel: una función logarítmica de la relación de potencias, elegida justamente porque convierte productos en sumas.
08En el laboratorio
Con una fuente variable y un multímetro, medir la salida de un amplificador operacional en configuración no inversora para entradas de −3 a 3 V, de a 0,25 V. Graficar los puntos, identificar el tramo lineal, medir su pendiente (la ganancia) y ubicar dónde empieza la saturación. Se puede probar antes en el curso de amplificadores operacionales.
Escribir la función que da la corriente de un divisor resistivo en función de R₂, indicar su dominio matemático y después el dominio físico real. Explicar la diferencia.
Con la tabla de un termistor NTC, ajustar R(T) y despejar T(R). Verificar que la composición de las dos devuelva el valor original y discutir en qué rango la inversión es confiable.
09Errores frecuentes
- Confundir imagen con codominio. La imagen es lo que se alcanza de verdad.
- Olvidar que la raíz de índice par exige radicando ≥ 0, y > 0 si además está en un denominador.
- Escribir f−1(x) por 1/f(x). Son cosas distintas: una es la inversa, la otra la recíproca.
- Componer en el orden equivocado: en g∘f se aplica primero f.
- Invertir una función que no es inyectiva sin restringir antes el dominio.
- Usar la ganancia de un amplificador fuera de su zona lineal.
10Autoevaluación
Dominio de f(x) = √(x² − 9).
x² − 9 ≥ 0 se cumple para |x| ≥ 3: (−∞, −3] ∪ [3, +∞).
¿Es par, impar o ninguna de las dos f(x) = x³ − x?
f(−x) = −x³ + x = −f(x): es impar.
Si f(x) = 2x + 1 y g(x) = x², ¿cuánto valen (g∘f)(2) y (f∘g)(2)?
(g∘f)(2) = g(5) = 25 y (f∘g)(2) = f(4) = 9. El orden cambia el resultado.
¿Cuál es la inversa de f(x) = 3x − 6?
y = 3x − 6 → x = (y + 6)/3, así que f−1(x) = (x + 6)/3.
¿Por qué un amplificador saturado deja de ser una función lineal?
Porque en la zona plana la salida no acompaña a la entrada: duplicar la entrada ya no duplica la salida y la superposición deja de valer.
¿Qué transformación del gráfico representa un retardo de 2 ms en una señal?
Una traslación horizontal: v(t − 0,002).
11Para ampliar
- Hebe Rabuffetti. Introducción al análisis matemático (Cálculo 1). El Ateneo. Clásico argentino, pensado para el primer año de ingeniería: funciones, dominio y gráficos con mucho detalle.
- James Stewart. Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. 7.ª ed., Cengage Learning, 2012. El más usado hoy: excelente tratamiento de funciones, transformaciones y modelos.
- Manuel Sadosky y Rebeca Ch. de Guber. Elementos de cálculo diferencial e integral. Alsina. Otro clásico argentino, riguroso y económico en palabras.