Funciones diferenciables
La derivada mide cuán rápido cambia algo. En un circuito es la corriente de un capacitor, la tensión de una bobina y la velocidad de respuesta de un amplificador.
01La pendiente en un punto
La pendiente de una recta se calcula con dos puntos. ¿Y la de una curva, en un solo punto? La salida es tomar dos puntos muy cercanos, calcular la pendiente de la recta que los une —la secante— y ver a qué valor tiende cuando los puntos se juntan. Ese límite es la derivada:
Geométrica: la pendiente de la recta tangente.
Física: la velocidad instantánea de cambio: si x(t) es posición, x′(t) es velocidad.
De ingeniería: la sensibilidad. Cuánto cambia la salida por cada unidad que cambia la entrada,
justo en ese punto de trabajo.
Si el límite existe, la función es derivable en a. Toda función derivable es continua, pero la recíproca es falsa: f(x) = |x| es continua en 0 y no derivable, porque por izquierda la pendiente vale −1 y por derecha +1. En un gráfico, los puntos no derivables son las esquinas, las tangentes verticales y las discontinuidades.
Achicá h y mirá cómo la secante se acuesta sobre la tangente. La curva de abajo es la derivada, punto por punto.
02Las reglas, que evitan hacer el límite cada vez
| Función | Derivada | Función | Derivada |
|---|---|---|---|
| k (constante) | 0 | sen x | cos x |
| xn | n·xn−1 | cos x | −sen x |
| ex | ex | tg x | sec²x = 1 + tg²x |
| ax | ax·ln a | arc tg x | 1/(1 + x²) |
| ln x | 1/x | √x | 1/(2√x) |
Y las cuatro reglas de combinación:
Para una composición, las derivadas se multiplican: (g ∘ f)′(x) = g′(f(x)) · f′(x). Se deriva la de afuera evaluada en la de adentro, y se multiplica por la derivada de la de adentro.
Ejemplo: la derivada de e−t/RC es e−t/RC · (−1/RC). Ese factor que aparece «de adentro» es el que hace que la corriente de descarga de un capacitor dependa de la constante de tiempo.
03Derivadas que se usan en electrónica
Si v(t) = V·sen(ωt), entonces i = C·dv/dt = C·V·ω·cos(ωt).
Tres conclusiones de una sola derivada: la corriente está adelantada 90° respecto de la tensión (el coseno adelanta al seno), su amplitud es proporcional a la frecuencia —de ahí que la reactancia capacitiva sea 1/(ωC)— y por eso un capacitor «deja pasar» mejor las señales rápidas.
Para una senoidal de salida vo = A·sen(2πft), la máxima pendiente es 2πfA, y ocurre al pasar por cero. Un amplificador operacional con slew rate SR sólo puede seguirla si 2πfA ≤ SR.
Con SR = 0,5 V/µs y A = 10 V, la frecuencia máxima sin distorsión es f = SR/(2πA) = 500 000/(2π·10) ≈ 7,96 kHz. Más arriba, la senoidal sale triangular.
La derivada segunda, f″, es la derivada de la derivada: mide cómo cambia la razón de cambio. En mecánica es la aceleración; en un gráfico, la concavidad.
04El diferencial: la mejor aproximación lineal
Esto es linealizar, y es lo que se hace todo el tiempo en electrónica: el modelo de pequeña señal de un transistor es la recta tangente a su característica en el punto de trabajo. La resistencia dinámica de un diodo, rd = nVT/I, sale de derivar su ecuación exponencial y quedarse con la pendiente en el punto Q. Todo el análisis lineal de un amplificador de señal débil se apoya en esa aproximación.
El diferencial sirve además para propagar errores: si una magnitud se calcula a partir de otra medida con incertidumbre, el error se multiplica por la derivada.
05En el laboratorio
Registrar la carga de un capacitor con el osciloscopio, exportar los puntos y calcular la derivada numérica (v[i+1] − v[i])/Δt. Comparar con la corriente medida sobre un resistor en serie: tienen que ser proporcionales, con constante C.
Excitar un amplificador operacional con una onda cuadrada y medir la pendiente máxima de la salida. Calcular con ella la frecuencia máxima para una senoidal de 10 V de pico y verificarla subiendo la frecuencia hasta que la salida se triangule.
Medir la curva i-v de un diodo punto por punto, graficarla y estimar la pendiente en tres puntos de trabajo distintos. Comparar con rd = 26 mV / I y discutir el acuerdo.
06Errores frecuentes
- Derivar el producto como producto de derivadas.
- Olvidar el factor de la regla de la cadena, que es el error más caro y el más silencioso.
- Confundir f′(x) con f(x′) o con la derivada evaluada en otro punto.
- Creer que continua implica derivable: el valor absoluto es el contraejemplo.
- Derivar sen x con x en grados: las fórmulas valen en radianes.
- Usar el modelo de pequeña señal lejos del punto de trabajo, donde la tangente ya no aproxima nada.
07Autoevaluación
Derivar f(x) = 3x⁴ − 5x + 2.
f′(x) = 12x³ − 5.
Derivar f(t) = e−t/τ.
Por la regla de la cadena: f′(t) = −(1/τ)·e−t/τ.
Derivar f(x) = x²·sen x.
Regla del producto: f′(x) = 2x·sen x + x²·cos x.
¿Por qué |x| no es derivable en 0?
Porque el cociente incremental tiende a −1 por izquierda y a +1 por derecha: el límite no existe. Hay una esquina.
Un capacitor de 100 nF tiene v(t) = 5·sen(2π·1000·t). ¿Cuál es la corriente de pico?
i = C·dv/dt tiene pico C·V·ω = 100·10−9 · 5 · 2π·1000 ≈ 3,14 mA.
¿Qué significa que la derivada sea negativa en un punto?
Que la función es decreciente ahí: si la entrada aumenta un poco, la salida baja.
08Para ampliar
- James Stewart. Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. 7.ª ed., Cengage Learning, 2012. Los capítulos 2 y 3 llevan del cociente incremental a todas las reglas, con aplicaciones físicas.
- Hebe Rabuffetti. Introducción al análisis matemático (Cálculo 1). El Ateneo. Derivabilidad y continuidad tratadas con cuidado, y muchos ejercicios de derivación.
- Tom M. Apostol. Calculus, volumen 1. 2.ª ed., Reverté. Para el enfoque riguroso, con las demostraciones completas de cada regla.