Análisis Matemático I · 120 h · Contenido 5 de 10

Aplicaciones de la derivada

Con la derivada se encuentran los máximos y los mínimos, se justifican las aproximaciones lineales y se resuelven los problemas de optimización que aparecen en todo diseño.

Extremos Concavidad Lagrange L'Hôpital Taylor

01Crecimiento y extremos

El signo de la derivada dice hacia dónde va la función, y los puntos donde se anula son los candidatos a máximo o mínimo:

Si en un intervalo…	entonces f…
f′(x) > 0	crece
f′(x) < 0	decrece
f′(c) = 0 o no existe	tiene un punto crítico en c: hay que analizarlo

El criterio de la primera derivada resuelve cada punto crítico mirando cómo cambia el signo de f′ al pasar por él: de + a − es un máximo; de − a + es un mínimo; si no cambia, no es extremo (como x³ en el origen).

Derivada nula no garantiza extremo

f(x) = x³ tiene f′(0) = 0 y en 0 no hay ni máximo ni mínimo: hay un punto de inflexión con tangente horizontal. Por eso el punto crítico es un candidato, no una conclusión.

Para hallar los extremos absolutos en un intervalo cerrado [a, b] —que existen, por Weierstrass— se comparan los valores en los puntos críticos y en los dos extremos del intervalo. El mayor y el menor de esa lista son la respuesta.

02Concavidad e inflexión

La derivada segunda mide cómo cambia la pendiente: si f″ > 0 la curva es cóncava hacia arriba y la pendiente crece; si f″ < 0, cóncava hacia abajo. Donde f″ cambia de signo hay un punto de inflexión.

De ahí sale el criterio de la segunda derivada, más rápido cuando se puede aplicar: si f′(c) = 0 y f″(c) > 0, en c hay un mínimo; si f″(c) < 0, un máximo. Si f″(c) = 0, el criterio no decide y hay que volver al de la primera derivada.

Laboratorio · la función, su derivada y su derivada segunda

Los puntos marcados son los críticos y los de inflexión, calculados en vivo mirando dónde cambia de signo cada derivada.

f′ f″

03Rolle, Lagrange y L'Hôpital

Teorema de Lagrange, o del valor medio

Si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe al menos un punto c donde la pendiente de la tangente es igual a la pendiente de la secante que une los extremos:

f^{'} (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}

Traducido: si un auto recorre 120 km en una hora, en algún instante su velocímetro marcó exactamente 120 km/h. El teorema de Rolle es el caso particular con f(a) = f(b), donde esa pendiente es cero.

De Lagrange salen consecuencias que se usan sin nombrarlas: que una función con derivada nula en un intervalo es constante, que dos funciones con la misma derivada difieren en una constante —la base de la integral indefinida— y los criterios de crecimiento de la sección 1.

Regla de L'Hôpital

Para una indeterminación 0/0 o ∞/∞, el límite del cociente es igual al límite del cociente de las derivadas, si este último existe:

\underset{x \to a}{lím} \frac{f (x)}{g (x)} = \underset{x \to a}{lím} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}

Se puede repetir si la indeterminación persiste. No es la derivada del cociente: son las dos derivadas por separado. Y hay que verificar que la indeterminación exista antes de aplicarla.

04Optimización: el problema de diseño

Optimizar es el pan de cada día de la ingeniería: maximizar potencia, rendimiento o ancho de banda; minimizar consumo, costo o disipación. El método es siempre el mismo:

Escribir la magnitud a optimizar como función de una sola variable, usando las relaciones del problema para eliminar las demás.
Establecer el dominio con sentido físico.
Derivar, igualar a cero y resolver.
Verificar que sea máximo o mínimo, y revisar también los bordes del dominio.

Ejemplo resuelto · máxima transferencia de potencia

Una fuente de tensión V con resistencia interna r alimenta una carga R. La corriente es i = V/(r + R) y la potencia en la carga:

P (R) = i^{2} R = \frac{V^{2} R}{{(r + R)}^{2}}

Derivando con la regla del cociente:

P^{'} (R) = V^{2} \frac{(r + R)^{2} - R \cdot 2 (r + R)}{{(r + R)}^{4}} = V^{2} \frac{r - R}{{(r + R)}^{3}}

P′ se anula en R = r, y como P′ > 0 antes y P′ < 0 después, es un máximo. La potencia máxima vale P = V²/(4r), y el rendimiento en ese punto es apenas del 50 %: la mitad de la energía se disipa adentro de la fuente. Por eso el criterio se usa en señales débiles —una antena, un amplificador de radiofrecuencia— y no en distribución de energía, donde lo que importa es el rendimiento.

05Polinomios de Taylor

La recta tangente aproxima una función con un polinomio de grado 1. Agregando términos con las derivadas sucesivas, la aproximación mejora:

f (x) \approx f (a) + f^{'} (a) (x - a) + \frac{f^{″} (a)}{2!} {(x - a)}^{2} + \dots + \frac{f^{(n)} (a)}{n!} {(x - a)}^{n}

Con a = 0 se lo llama polinomio de Maclaurin. El error que se comete tiene una fórmula propia, el resto de Lagrange.

Laboratorio · aproximar con polinomios

grado n 1

Las dos aproximaciones más usadas en electrónica salen de acá: sen x ≈ x para ángulos chicos y e^x ≈ 1 + x, que linealiza la ecuación del diodo alrededor de un punto de trabajo.

06Dónde se usa todo esto

Punto de trabajo y máxima excursión. Ubicar el punto Q de un transistor en el medio de la recta de carga es un problema de optimización: maximizar la excursión simétrica de la señal antes del recorte.
Adaptación de impedancias. El resultado R = r de la sección 4 es la versión en continua del criterio de máxima transferencia, que en radiofrecuencia se resuelve con la carta de Smith.
Distorsión armónica. Al desarrollar en Taylor la característica no lineal de un amplificador, v_o = a₁v + a₂v² + a₃v³ + …, el término cuadrático genera la segunda armónica y el cúbico la tercera. La distorsión no es un accidente: son los términos de orden superior del desarrollo.
Newton-Raphson. El método numérico que resuelve ecuaciones no lineales —el punto de trabajo de un diodo, por ejemplo— es «avanzar por la tangente»: x_n+1 = x_n − f(x_n)/f′(x_n). Converge mucho más rápido que la bisección.
Sensibilidad y tolerancias. La derivada de la salida respecto de cada componente dice cuánto afecta su tolerancia al resultado, y por dónde conviene gastar en precisión.

07En el laboratorio

Práctica 1 · Verificar la máxima transferencia

Con una fuente de 10 V y 100 Ω en serie —la resistencia interna simulada—, medir la potencia sobre cargas de 10, 50, 100, 200 y 500 Ω. Graficar P en función de R y comprobar que el máximo está en 100 Ω y vale V²/4r = 250 mW.

Práctica 2 · Distorsión y armónicas

Llevar un amplificador cerca del recorte y observar el espectro con un analizador. Relacionar la aparición de armónicas con los términos no lineales del desarrollo de Taylor. Se puede ensayar en el simulador de instrumental.

Práctica 3 · Optimizar un disipador

Plantear la temperatura de juntura de un transistor en función de la resistencia térmica del disipador y del costo, y encontrar el mínimo costo que cumple la especificación térmica. Es el mismo método de cuatro pasos.

08Errores frecuentes

Dar por extremo todo punto crítico sin analizar el cambio de signo.
Olvidar los bordes del intervalo al buscar extremos absolutos.
Aplicar L'Hôpital sin indeterminación, o derivando el cociente en lugar de cada parte.
Optimizar sin dominio físico: una resistencia negativa puede ser solución matemática y no existir.
Confundir máximo de potencia con máximo rendimiento. En R = r el rendimiento es 50 %.
Usar sen x ≈ x fuera de ángulos chicos: a 30° el error ya es de casi el 5 %.

09Autoevaluación

Hallar y clasificar los extremos de f(x) = x³ − 3x.

f′ = 3x² − 3 = 0 en x = ±1. f″ = 6x: en x = 1 es positiva (mínimo, f = −2) y en x = −1 es negativa (máximo, f = 2).

¿Dónde tiene su punto de inflexión f(x) = x³ − 3x?

f″ = 6x se anula y cambia de signo en x = 0: ahí está la inflexión.

Calcular lím_x→0 (e^x − 1)/x con L'Hôpital.

Es 0/0; derivando arriba y abajo queda e^x/1 → 1.

Una fuente de 12 V con r = 50 Ω. ¿Qué carga extrae máxima potencia y cuánta es?

R = 50 Ω y P = V²/(4r) = 144/200 = 0,72 W.

Escribir el polinomio de Maclaurin de grado 3 de sen x.

x − x³/6. El término de grado 2 es nulo porque el seno es impar.

¿Qué dice el teorema de Lagrange sobre una señal que pasa de 0 a 5 V en 1 µs?

Que en algún instante su pendiente fue exactamente 5 V/µs. Si el amplificador tiene un slew rate menor, no puede haber hecho ese flanco.

10Para ampliar

James Stewart. Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. 7.ª ed., Cengage Learning, 2012. El capítulo 4 es exactamente este tema: extremos, teorema del valor medio, L'Hôpital y optimización.
Louis Leithold. El cálculo. 7.ª ed., Oxford University Press. Muchos problemas de optimización resueltos, con el planteo detallado paso a paso.
Tom M. Apostol. Calculus, volumen 1. 2.ª ed., Reverté. La fórmula de Taylor con el resto demostrado, para saber cuánto vale la aproximación.

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