Cálculo integral
Integrar es la operación inversa de derivar: a partir de cómo cambia algo, reconstruir cuánto vale.
01Deshacer la derivada
Derivar es fácil y mecánico: hay reglas para todo. La operación inversa —dada la derivada, encontrar la función— se llama hallar una primitiva, y no es mecánica: es un oficio.
Que todas las primitivas de una función difieran sólo en una constante es una consecuencia directa del teorema de Lagrange: si dos funciones tienen la misma derivada, su diferencia tiene derivada nula y por lo tanto es constante.
Toda integral se comprueba derivando el resultado. Si no da el integrando, está mal. Es la única rama del cálculo donde uno puede verificar solo su respuesta en treinta segundos: conviene hacerlo siempre.
02Integrales inmediatas
La tabla de derivadas leída al revés:
| ∫ f dx | Resultado | ∫ f dx | Resultado |
|---|---|---|---|
| ∫ xn dx (n ≠ −1) | xn+1/(n + 1) + C | ∫ sen x dx | −cos x + C |
| ∫ dx/x | ln|x| + C | ∫ cos x dx | sen x + C |
| ∫ ex dx | ex + C | ∫ sec²x dx | tg x + C |
| ∫ ax dx | ax/ln a + C | ∫ dx/(1 + x²) | arc tg x + C |
∫dx/x = ln|x| + C, con barras. Sin ellas, el resultado no valdría para x negativo, donde la función 1/x existe igual.
La integral es lineal: la de una suma es la suma de las integrales y las constantes salen afuera. En cambio no hay regla del producto ni del cociente: ahí empiezan los métodos.
03Los tres métodos que resuelven casi todo
Sustitución: la regla de la cadena al revés
Si en el integrando aparece una función y, multiplicando, algo parecido a su derivada, conviene llamar u a esa función:
Por partes: la regla del producto al revés
Fracciones simples: para cocientes de polinomios
Una función racional se descompone en fracciones con denominadores de primer o segundo grado, que ya están en la tabla. Es el método que después resuelve las antitransformadas de Laplace de cualquier circuito.
Cada paso aparece cuando lo pedís. Al final, la verificación numérica deriva el resultado y lo compara con el integrando.
04Integrar en un circuito
| Relación | Derivando | Integrando |
|---|---|---|
| Capacitor | i = C·dv/dt | v = (1/C)·∫i dt + v(0) |
| Inductor | v = L·di/dt | i = (1/L)·∫v dt + i(0) |
| Carga | i = dq/dt | q = ∫i dt |
| Energía | p = dW/dt | W = ∫p dt = ∫v·i dt |
Las constantes de integración de esa columna derecha son las condiciones iniciales: la tensión que ya tenía el capacitor o la corriente que ya circulaba por la bobina. Matemáticamente son «una constante cualquiera»; físicamente, el estado del circuito en el instante cero.
Si un capacitor de 1 µF recibe una corriente constante de 2 mA partiendo de 0 V:
v(t) = (1/C)∫i dt = (1/10−6)·(2·10−3·t) = 2000·t volt, una rampa de 2 V por milisegundo. Es el principio del generador de diente de sierra y del conversor A/D de doble rampa.
El amplificador integrador con operacional hace esta cuenta en tiempo real: vo = −(1/RC)∫vi dt. Su versión práctica se ve en el curso de amplificadores operacionales.
05En el laboratorio
Resolver ∫x·cos x dx, ∫x/(x² + 1) dx y ∫dx/(x² − 4) por el método que corresponda, y verificar las tres derivando el resultado.
Armar un integrador con operacional (R = 10 kΩ, C = 100 nF) y excitarlo con una onda cuadrada de 1 kHz. Comprobar que la salida es triangular y medir su pendiente; compararla con V/(RC). Explicar por qué hace falta un resistor en paralelo con C.
Cargar un capacitor con corriente constante y medir la rampa de tensión. Calcular la carga acumulada como área bajo la curva de corriente y verificar q = C·V.
06Errores frecuentes
- Olvidar el + C. En un circuito, eso es olvidar la condición inicial.
- Inventar una regla del producto: ∫f·g dx no es ∫f dx · ∫g dx.
- Sustituir sin cambiar el dx por du: la sustitución incluye el diferencial.
- Elegir mal u y dv en por partes, y obtener una integral más difícil que la original.
- Escribir ln x sin el valor absoluto.
- Aplicar xn+1/(n+1) con n = −1, que da división por cero: ese caso es el logaritmo.
07Autoevaluación
∫(3x² − 4x + 5) dx.
x³ − 2x² + 5x + C. Verificación: derivando vuelve el integrando. ✔
∫e−2x dx.
Con u = −2x: −e−2x/2 + C.
∫x·ex dx.
Por partes, con u = x y dv = exdx: x·ex − ex + C.
¿Qué representa la constante de integración en v = (1/C)∫i dt + C₁?
La tensión inicial del capacitor, v(0).
∫sen(ωt) dt.
−cos(ωt)/ω + C. El 1/ω es el factor de la regla de la cadena al revés.
Un capacitor de 10 nF recibe 5 µA constantes. ¿A qué velocidad sube su tensión?
dv/dt = i/C = 5·10−6/10−8 = 500 V/s, o 0,5 V por milisegundo.
08Para ampliar
- James Stewart. Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. 7.ª ed., Cengage Learning, 2012. Los capítulos 5 y 7 cubren primitivas y todas las técnicas de integración con estrategia de elección.
- Murray R. Spiegel. Cálculo superior (serie Schaum). McGraw-Hill. Tablas y cientos de integrales resueltas: útil como referencia de escritorio.
- Hebe Rabuffetti. Introducción al análisis matemático (Cálculo 1). El Ateneo. Métodos de integración explicados con el detalle de cada sustitución.