La integral definida
La integral definida es un área, y un área es una suma de infinitos rectángulos infinitamente finos. De ahí salen el valor medio y el valor eficaz de cualquier señal.
01Un área que se arma con rectángulos
¿Cuánta carga entregó una corriente que fue variando? ¿Cuánta energía disipó un resistor? Las dos preguntas son la misma: el área bajo una curva. Y el área bajo una curva cualquiera no tiene fórmula, así que se la construye: se parte el intervalo en n pedacitos, se levanta un rectángulo sobre cada uno y se suman.
La integral definida es un área con signo: lo que está debajo del eje x resta. Por eso la integral de un ciclo completo de una senoidal vale cero, aunque el área dibujada no lo sea. Ese es exactamente el valor medio nulo de la corriente alterna.
Subí la cantidad de rectángulos y mirá cómo la suma se acerca al valor exacto.
02Propiedades que se usan sin pensarlas
| Propiedad | Qué dice |
|---|---|
| Linealidad | ∫(αf + βg) = α∫f + β∫g. Es la superposición aplicada a integrales |
| Aditividad del intervalo | ∫ab = ∫ac + ∫cb: se puede cortar en tramos, útil en funciones partidas |
| Orientación | ∫ab = −∫ba, y ∫aa = 0 |
| Monotonía | Si f ≤ g en [a, b], entonces ∫f ≤ ∫g |
| Acotación | m(b − a) ≤ ∫f ≤ M(b − a), con m y M el mínimo y el máximo |
Si f es continua en [a, b], existe un punto c donde f(c) es exactamente el valor medio:
Geométricamente: el rectángulo de altura f(c) tiene la misma área que la región bajo la curva. Es lo que mide un instrumento de valor medio, y lo que indica un multímetro analógico en continua.
03Valor medio y valor eficaz de una señal
Acá la integral definida deja de ser un ejercicio y se vuelve la definición de dos magnitudes que se miden todos los días en el laboratorio:
Para v(t) = Vp·sen(ωt), el cuadrado es Vp²·sen²(ωt), y usando sen²θ = (1 − cos 2θ)/2, su valor medio en un período es Vp²/2.
Entonces Vef = Vp/√2 ≈ 0,707·Vp. Los 220 V de la red son eficaces: el pico es 311 V. Todo eso es una integral definida resuelta una sola vez.
| Forma de onda | Valor medio (ciclo completo) | Valor eficaz |
|---|---|---|
| Senoidal | 0 | Vp/√2 = 0,707 Vp |
| Senoidal rectificada de onda completa | 2Vp/π = 0,637 Vp | 0,707 Vp |
| Senoidal rectificada de media onda | Vp/π = 0,318 Vp | Vp/2 = 0,5 Vp |
| Cuadrada simétrica | 0 | Vp |
| Triangular simétrica | 0 | Vp/√3 = 0,577 Vp |
Esa tabla explica por qué un multímetro común, que mide valor medio de la señal rectificada y multiplica por 1,11, se equivoca con ondas que no son senoidales: para una cuadrada indica 11 % de más. Un instrumento «true RMS» calcula la integral del cuadrado de verdad. Se ve en instrumentos de medida digitales.
04Cuando no hay primitiva: integración numérica
Muchas funciones no tienen primitiva elemental —e−x² es el caso clásico— y muchas veces sólo se tienen puntos medidos, sin fórmula. Ahí se integra numéricamente, que es quedarse con una suma de Riemann finita bien elegida:
| Método | Idea | Error |
|---|---|---|
| Rectángulos | Aproxima f por una constante en cada tramo | Proporcional a Δx |
| Punto medio | La constante se toma en el centro del tramo | Proporcional a Δx² |
| Trapecios | Une los extremos con un segmento | Proporcional a Δx² |
| Simpson | Ajusta una parábola cada dos tramos | Proporcional a Δx⁴ |
Es exactamente lo que hace un osciloscopio digital cuando muestra el valor eficaz de una señal capturada: suma los cuadrados de las muestras, divide por la cantidad y saca la raíz. La integral se convirtió en una cuenta sobre un arreglo de números.
05En el laboratorio
Calcular ∫₀³ x² dx con 3, 6 y 12 rectángulos por izquierda, por derecha y por el punto medio. Comparar con el valor exacto (9) y ver cuál converge más rápido. Contrastar con el laboratorio.
Con el generador, aplicar una senoidal, una cuadrada y una triangular de igual amplitud de pico a un resistor. Medir con un multímetro común y con uno true RMS, y comparar con la tabla. Explicar las diferencias.
Capturar un pulso de corriente sobre una carga conocida, exportar las muestras y calcular la energía como suma de v·i·Δt. Comparar con la elevación de temperatura medida, si el montaje lo permite.
06Errores frecuentes
- Confundir área con integral: si la función cambia de signo, para el área geométrica hay que integrar el valor absoluto o partir el intervalo.
- Calcular el valor eficaz como la raíz del medio, o promediar sin elevar al cuadrado.
- Usar 0,707 para cualquier forma de onda: ese factor es sólo de la senoidal.
- Olvidar el 1/T en el valor medio o en el eficaz.
- Integrar sobre menos de un período al calcular valores de una señal periódica.
- Medir una señal no senoidal con un multímetro de valor medio y creer el número.
07Autoevaluación
¿Cuánto vale ∫₀³ x² dx?
x³/3 evaluado entre 0 y 3: 9.
¿Por qué la integral de una senoidal en un período es cero?
Porque el semiciclo positivo y el negativo tienen áreas iguales y signos opuestos. Su valor medio es nulo.
Una señal cuadrada de ±10 V. ¿Valor medio y valor eficaz?
Valor medio 0 y valor eficaz 10 V: el cuadrado vale siempre 100.
¿Cuál es el valor de pico de la red de 220 V eficaces?
220·√2 ≈ 311 V. Los aislamientos se calculan con el pico, no con el eficaz.
¿Qué método numérico converge más rápido, trapecios o punto medio?
Los dos tienen error proporcional a Δx², pero el del punto medio suele ser la mitad. Simpson, que combina ambos, es mucho mejor.
Un instrumento de valor medio mide una onda cuadrada de 10 V de pico. ¿Qué indica?
Rectifica (valor medio 10 V) y multiplica por 1,11: indica 11,1 V, cuando el verdadero eficaz es 10 V. Error del 11 %.
08Para ampliar
- James Stewart. Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. 7.ª ed., Cengage Learning, 2012. El capítulo 5 construye la integral definida desde las sumas de Riemann, con la notación completa.
- Manuel Sadosky y Rebeca Ch. de Guber. Elementos de cálculo diferencial e integral. Alsina. Tratamiento clásico y riguroso de la integral definida y sus propiedades.
- Robert L. Boylestad. Introducción al análisis de circuitos. 12.ª ed., Pearson, 2011. Dónde se usan los valores medios y eficaces, con las formas de onda rectificadas resueltas.