El teorema fundamental del cálculo
Derivar e integrar son operaciones inversas. Ese resultado, que parece evidente, es el teorema que unifica todo el cálculo y el que permite calcular áreas sin sumar infinitos términos.
01La función área
Hasta acá la integral definida daba un número. Pero si se deja fijo el extremo de abajo y se mueve el de arriba, aparece una función: la que acumula área a medida que avanza.
Esta función es exactamente la carga acumulada por un capacitor a partir de la corriente, o la energía consumida por una instalación a partir de la potencia. Acumular es integrar con límite variable.
Arriba, f y el área acumulada hasta x. Abajo, la función A(x) que se va dibujando. Mirá dónde A crece, dónde decrece y dónde tiene sus extremos.
02Primer teorema: derivar el área devuelve la función
La idea de la demostración cabe en dos líneas: al pasar de x a x + h, el área crece en una franja angosta de ancho h y altura aproximadamente f(x), así que A(x + h) − A(x) ≈ f(x)·h. Dividiendo por h y tomando límite, queda A′(x) = f(x). El «aproximadamente» se vuelve exacto por el teorema del valor medio integral.
Antes de él, calcular un área exigía sumar infinitos rectángulos. Después de él, alcanza con encontrar una función cuya derivada sea el integrando. Por eso el trabajo de buscar primitivas vale la pena: es el atajo para todas las áreas.
03Segundo teorema: la regla de Barrow
∫₀³ x² dx: una primitiva es F(x) = x³/3.
F(3) − F(0) = 27/3 − 0 = 9. El mismo 9 al que se acercaban las sumas de Riemann del tema anterior, ahora en una línea.
Dos cuidados con las definidas
- Sustitución: si se cambia de variable, hay que cambiar también los límites, o volver a la variable original antes de evaluar. Con u = x² + 1, la integral entre x = 0 y x = 2 pasa a ser entre u = 1 y u = 5.
- Discontinuidades: Barrow exige que f sea continua en todo [a, b]. Aplicarla «de memoria» sobre ∫−11 dx/x² da −2, un resultado imposible para una función positiva: esa integral es impropia y diverge.
04Derivar integrales con límites variables
Combinando el primer teorema con la regla de la cadena:
Se usa, por ejemplo, para derivar expresiones de energía acumulada entre dos instantes que se mueven, y es la puerta de entrada a la regla de Leibniz general que aparece en Análisis Matemático II.
05Las dos direcciones en un circuito
La relación de un capacitor se escribe de las dos maneras: i = C·dv/dt y v(t) = v(0) + (1/C)∫₀t i dτ. Son la misma ley, leída en las dos direcciones que el teorema fundamental autoriza. Lo mismo con el inductor.
- Medidor de energía. El medidor de kWh integra la potencia instantánea: su lectura es literalmente la función área de p(t). Derivar esa lectura devuelve la potencia.
- Conversor A/D de doble rampa. Integra la tensión de entrada durante un tiempo fijo y después integra una referencia hasta volver a cero; el tiempo que tarda es proporcional a la entrada. Todo el método es el teorema fundamental hecho circuito, y por eso rechaza tan bien el ruido de red: promedia.
- Carga de un capacitor con corriente pulsante. La tensión final no depende de la forma de los pulsos, sólo del área total: de la carga entregada.
- Valor medio de una señal. Un filtro pasa-bajos bien elegido es un integrador aproximado: por eso a la salida de un PWM, con un RC, aparece el valor medio de la señal.
06En el laboratorio
Calcular ∫₀π sen x dx con Barrow y con sumas de Riemann de 10, 50 y 200 términos. Verificar que la suma converge a 2 y estimar cuántos términos hacen falta para tres decimales correctos.
Generar una señal PWM de ciclo de trabajo variable, filtrarla con un RC y medir la tensión continua de salida. Comprobar que es V·D, el valor medio, y explicar el resultado como una integral por período.
Capturar la corriente de carga de un capacitor y calcular la carga acumulada punto a punto con una planilla (suma de i·Δt). Graficar q(t) junto a la tensión medida y verificar que son proporcionales, con constante C.
07Errores frecuentes
- Aplicar Barrow sobre una discontinuidad del integrando dentro del intervalo.
- Cambiar de variable y no cambiar los límites.
- Escribir el + C en una integral definida.
- Derivar ∫ax² f(t)dt como f(x), olvidando el factor 2x de la cadena.
- Confundir la variable de integración con el límite superior: por eso se escribe t adentro.
- Creer que el integrador de un operacional integra para siempre: sin resistor de realimentación, cualquier offset se acumula y satura la salida.
08Autoevaluación
Si A(x) = ∫₀x (t² + 1) dt, ¿cuánto vale A′(x)?
x² + 1, por el primer teorema fundamental.
Calcular ∫₁e dx/x.
ln x entre 1 y e: ln e − ln 1 = 1.
¿Por qué no hace falta la constante de integración en una integral definida?
Porque se cancela al restar: (F(b) + C) − (F(a) + C) = F(b) − F(a).
Derivar G(x) = ∫₀x² sen t dt.
G′(x) = sen(x²)·2x: primer teorema más regla de la cadena.
Una corriente de 2 mA carga un capacitor de 1 µF durante 5 ms desde 0 V. ¿Tensión final?
q = ∫i dt = 2 mA · 5 ms = 10 µC, y v = q/C = 10 µC/1 µF = 10 V.
¿Qué mide, matemáticamente, un medidor de energía eléctrica?
La función área de la potencia instantánea: W(t) = ∫p dt. Su derivada es la potencia.
09Para ampliar
- James Stewart. Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. 7.ª ed., Cengage Learning, 2012. La sección 5.3 presenta los dos teoremas fundamentales con la demostración y la intuición de la franja.
- Tom M. Apostol. Calculus, volumen 1. 2.ª ed., Reverté. Construye todo el cálculo empezando por la integral, así que el teorema fundamental queda en el centro.
- Michael Spivak. Calculus. 3.ª ed., Reverté, 2012. La demostración más cuidada, con todas las hipótesis a la vista.