Aplicaciones de la integral definida
Con integrales definidas se calculan áreas, volúmenes, trabajo, carga acumulada y la energía que entrega una señal a una carga.
01Áreas entre curvas
El área encerrada entre dos curvas es la integral de la diferencia, la de arriba menos la de abajo, entre los puntos donde se cortan:
Entre y = x y y = x²: se cortan en x = 0 y x = 1, y en ese tramo la recta va por arriba.
A = ∫₀¹ (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3]₀¹ = 1/2 − 1/3 = 1/6.
02Volúmenes, longitudes y superficies
| Magnitud | Fórmula | La idea |
|---|---|---|
| Volumen por discos | V = π∫ab [f(x)]² dx | Al girar alrededor del eje x, cada rebanada es un disco de radio f(x) |
| Volumen por capas | V = 2π∫ab x·f(x) dx | Al girar alrededor del eje y, cada rebanada es un tubito de radio x |
| Longitud de arco | L = ∫ab √(1 + [f′(x)]²) dx | Cada tramito es la hipotenusa de dx y dy |
| Superficie de revolución | S = 2π∫ab f(x)·√(1 + [f′]²) dx | Cada tramito genera un anillo |
El método es siempre el mismo y conviene retenerlo más que las fórmulas: cortar en pedacitos, escribir la contribución de un pedacito genérico, y sumar con una integral. Así se calcula también el trabajo de una fuerza variable, W = ∫F dx, la masa de una barra de densidad variable o el centro de gravedad de una pieza.
03De dónde salen ½CV² y ½LI²
Las dos fórmulas de energía que se usan de memoria en electrónica son, en realidad, integrales definidas de una línea:
El mismo razonamiento explica por qué cargar un capacitor a través de un resistor disipa exactamente la misma energía que la que queda almacenada, ½CV², sin importar el valor del resistor: se integra la potencia disipada durante todo el transitorio y da ese número. Es un resultado que sorprende la primera vez y que decide el rendimiento de las fuentes conmutadas.
04Valores medios y eficaces de cualquier forma de onda
Con la integral definida se calculan los dos números con que se describe cualquier señal periódica, y dos más que casi no se enseñan y se usan todo el tiempo: el factor de forma (eficaz sobre medio rectificado) y el factor de cresta (pico sobre eficaz), que dicen cuánto se aparta la onda de una senoidal y cuánto margen necesita un amplificador.
Los cuatro números se calculan integrando numéricamente sobre un período completo, igual que lo hace un instrumento true RMS.
05Más aplicaciones en electrónica
- Rizado de una fuente. La tensión de rizado de un filtro capacitivo sale de integrar la corriente de carga durante el tiempo en que el diodo no conduce: ΔV = I·Δt/C. Es la misma cuenta de la fuente regulada.
- Potencia media. La potencia que realmente calienta un componente es el valor medio de v·i en un período, no el producto de los valores medios. Con señales desfasadas aparece el cos φ.
- Carga de una batería. La capacidad en amperio-hora es ∫i dt: el área bajo la curva de corriente.
- Distorsión armónica total. Se define con integrales del cuadrado de cada armónica: es una relación entre valores eficaces.
- Dosis de radiación, consumo acumulado, desgaste: cualquier magnitud que se acumule en el tiempo es una integral definida.
06En el laboratorio
Calcular el área entre y = 4 − x² y el eje x, y el volumen del sólido que genera al girar alrededor del eje x. Verificar el volumen con la fórmula del paraboloide si se conoce.
Cargar un capacitor de valor conocido a través de un resistor y registrar v(t) e i(t). Calcular numéricamente ∫v·i dt hasta el final del transitorio y comparar con ½CV². Calcular también la energía disipada en el resistor y verificar que son iguales.
Medir valor medio, eficaz, factor de forma y factor de cresta de tres señales del generador con un osciloscopio digital, y comparar con los valores calculados del laboratorio de arriba. Discutir qué indicaría un multímetro de valor medio en cada caso.
07Errores frecuentes
- Restar al revés al calcular áreas entre curvas y obtener un área negativa.
- No buscar los puntos de cruce y usar límites arbitrarios.
- Olvidar el π en los volúmenes de revolución, o el cuadrado del radio.
- Calcular la potencia media como producto de los valores medios de tensión y corriente.
- Usar el factor 1,11 para cualquier onda: es el factor de forma de la senoidal rectificada.
- Integrar sobre un período incompleto y obtener valores medios que no significan nada.
08Autoevaluación
Área entre y = x² y y = 2x.
Se cortan en 0 y 2; la recta va arriba: ∫₀² (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3.
Volumen al girar y = √x, con 0 ≤ x ≤ 4, alrededor del eje x.
V = π∫₀⁴ x dx = π·8 = 8π ≈ 25,1.
¿Cuánta energía guarda un capacitor de 470 µF cargado a 25 V?
½·470·10−6·625 ≈ 0,147 J. Suficiente para dar un chispazo notable al cortocircuitarlo: por eso se descargan antes de manipularlos.
Una onda cuadrada de 10 V de pico con ciclo de trabajo 25 % entre 0 y 10 V. ¿Valor medio y eficaz?
Medio: 10·0,25 = 2,5 V. Eficaz: 10·√0,25 = 5 V. El eficaz es mucho mayor que el medio, y por eso un PWM calienta más de lo que sugiere su valor medio.
¿Qué es el factor de cresta y para qué sirve?
El cociente entre el pico y el valor eficaz. Indica cuánto margen de tensión necesita un amplificador o una fuente para no recortar: para la senoidal vale √2, y para señales de audio o de datos puede llegar a 4 o más.
09Para ampliar
- James Stewart. Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. 7.ª ed., Cengage Learning, 2012. El capítulo 6 recorre áreas, volúmenes, trabajo y valor promedio con el método de «cortar y sumar».
- Charles K. Alexander y Matthew N. O. Sadiku. Fundamentos de circuitos eléctricos. 5.ª ed., McGraw-Hill, 2013. Valores medios y eficaces, energía almacenada y potencia media, con las integrales planteadas.
- Louis Leithold. El cálculo. 7.ª ed., Oxford University Press. Muchos problemas de aplicación geométrica y física resueltos en detalle.