Aplicaciones de la integral definida
Con integrales definidas se calculan áreas, volúmenes, trabajo, carga acumulada y la energía que entrega una señal a una carga.
01Áreas entre curvas
El área encerrada entre dos curvas es la integral de la diferencia, la de arriba menos la de abajo, entre los puntos donde se cortan:
Entre \( y = x \) y \( y = x^2 \): se cortan en \( x = 0 \) y \( x = 1 \), y en ese tramo la recta va por arriba.
\( A = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = [x^2/2 - x^3/3]_0^1 = 1/2 - 1/3 = \) \( 1/6 \).
02Volúmenes, longitudes y superficies
| Magnitud | Fórmula | La idea |
|---|---|---|
| Volumen por discos | \( V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx \) | Al girar alrededor del eje x, cada rebanada es un disco de radio f(x) |
| Volumen por capas | \( V = 2\pi \int_a^b x\cdot f(x)\,dx \) | Al girar alrededor del eje y, cada rebanada es un tubito de radio x |
| Longitud de arco | \( L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,dx \) | Cada tramito es la hipotenusa de dx y dy |
| Superficie de revolución | \( S = 2\pi \int_a^b f(x)\cdot \sqrt{1 + [f']^2}\,dx \) | Cada tramito genera un anillo |
El método es siempre el mismo y conviene retenerlo más que las fórmulas: cortar en pedacitos, escribir la contribución de un pedacito genérico, y sumar con una integral. Así se calcula también el trabajo de una fuerza variable, \( W = \int F\,dx \), la masa de una barra de densidad variable o el centro de gravedad de una pieza.
03De dónde salen \( \tfrac{1}{2}CV^2 \) y \( \tfrac{1}{2}LI^2 \)
Las dos fórmulas de energía que se usan de memoria en electrónica son, en realidad, integrales definidas de una línea:
El mismo razonamiento explica por qué cargar un capacitor a través de un resistor disipa exactamente la misma energía que la que queda almacenada, \( \tfrac{1}{2}CV^2 \), sin importar el valor del resistor: se integra la potencia disipada durante todo el transitorio y da ese número. Es un resultado que sorprende la primera vez y que decide el rendimiento de las fuentes conmutadas.
04Valores medios y eficaces de cualquier forma de onda
Con la integral definida se calculan los dos números con que se describe cualquier señal periódica, y dos más que casi no se enseñan y se usan todo el tiempo: el factor de forma (eficaz sobre medio rectificado) y el factor de cresta (pico sobre eficaz), que dicen cuánto se aparta la onda de una senoidal y cuánto margen necesita un amplificador.
Los cuatro números se calculan integrando numéricamente sobre un período completo, igual que lo hace un instrumento true RMS.
05Más aplicaciones en electrónica
- Rizado de una fuente. La tensión de rizado de un filtro capacitivo sale de integrar la corriente de carga durante el tiempo en que el diodo no conduce: \( \Delta V = I\cdot \Delta t/C \). Es la misma cuenta de la fuente regulada.
- Potencia media. La potencia que realmente calienta un componente es el valor medio de \( v\cdot i \) en un período, no el producto de los valores medios. Con señales desfasadas aparece el \( \cos \varphi \).
- Carga de una batería. La capacidad en amperio-hora es \( \int i\,dt \): el área bajo la curva de corriente.
- Distorsión armónica total. Se define con integrales del cuadrado de cada armónica: es una relación entre valores eficaces.
- Dosis de radiación, consumo acumulado, desgaste: cualquier magnitud que se acumule en el tiempo es una integral definida.
06En el laboratorio
Calcular el área entre \( y = 4 - x^2 \) y el eje \( x \), y el volumen del sólido que genera al girar alrededor del eje \( x \). Verificar el volumen con la fórmula del paraboloide si se conoce.
Cargar un capacitor de valor conocido a través de un resistor y registrar \( v(t) \) e \( i(t) \). Calcular numéricamente \( \int v\cdot i\,dt \) hasta el final del transitorio y comparar con \( \tfrac{1}{2}CV^2 \). Calcular también la energía disipada en el resistor y verificar que son iguales.
Medir valor medio, eficaz, factor de forma y factor de cresta de tres señales del generador con un osciloscopio digital, y comparar con los valores calculados del laboratorio de arriba. Discutir qué indicaría un multímetro de valor medio en cada caso.
07Errores frecuentes
- Restar al revés al calcular áreas entre curvas y obtener un área negativa.
- No buscar los puntos de cruce y usar límites arbitrarios.
- Olvidar el \( \pi \) en los volúmenes de revolución, o el cuadrado del radio.
- Calcular la potencia media como producto de los valores medios de tensión y corriente.
- Usar el factor 1,11 para cualquier onda: es el factor de forma de la senoidal rectificada.
- Integrar sobre un período incompleto y obtener valores medios que no significan nada.
08Autoevaluación
Área entre \( y = x^2 \) y \( y = 2x \).
Se cortan en 0 y 2; la recta va arriba: \( \int_0^2 (2x - x^2)\,dx = 4 - 8/3 = \) \( 4/3 \).
Volumen al girar \( y = \sqrt{x} \), con \( 0 \le x \le 4 \), alrededor del eje \( x \).
\( V = \pi \int_0^4 x\,dx = \pi \cdot 8 = \) \( 8\pi \approx 25{,}1 \).
¿Cuánta energía guarda un capacitor de 470 µF cargado a 25 V?
\( \tfrac{1}{2} \cdot 470\cdot 10^{-6}\cdot 625 \approx \) \( 0{,}147\text{ J} \). Suficiente para dar un chispazo notable al cortocircuitarlo: por eso se descargan antes de manipularlos.
Una onda cuadrada de 10 V de pico con ciclo de trabajo 25 % entre 0 y 10 V. ¿Valor medio y eficaz?
Medio: \( 10\cdot 0{,}25 = 2{,}5\text{ V} \). Eficaz: \( 10\cdot \sqrt{0{,}25} = \) \( 5\text{ V} \). El eficaz es mucho mayor que el medio, y por eso un PWM calienta más de lo que sugiere su valor medio.
¿Qué es el factor de cresta y para qué sirve?
El cociente entre el pico y el valor eficaz. Indica cuánto margen de tensión necesita un amplificador o una fuente para no recortar: para la senoidal vale \( \sqrt{2} \), y para señales de audio o de datos puede llegar a 4 o más.
09Para ampliar
- James Stewart. Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. 7.ª ed., Cengage Learning, 2012. El capítulo 6 recorre áreas, volúmenes, trabajo y valor promedio con el método de «cortar y sumar».
- Charles K. Alexander y Matthew N. O. Sadiku. Fundamentos de circuitos eléctricos. 5.ª ed., McGraw-Hill, 2013. Valores medios y eficaces, energía almacenada y potencia media, con las integrales planteadas.
- Louis Leithold. El cálculo. 7.ª ed., Oxford University Press. Muchos problemas de aplicación geométrica y física resueltos en detalle.