Series
Sumar infinitos términos puede dar un número finito. Esa idea permite representar funciones como polinomios infinitos y señales como sumas de senoidales.
01Primero, sucesiones
Una sucesión es una lista infinita y ordenada de números: a₁, a₂, a₃, … Lo único que interesa de ella es su comportamiento a la larga: si se acerca a un número —converge— o no.
| Sucesión | Comportamiento | Dónde aparece |
|---|---|---|
| an = 1/n | Converge a 0 | Error de un método numérico |
| an = rn | Converge a 0 si |r| < 1; diverge si |r| > 1 | Amplitud de cada rebote de una señal en una línea desadaptada |
| an = (−1)n | Oscila: no converge | Un sistema al borde de la inestabilidad |
| an = (1 + 1/n)n | Converge a e | Capitalización continua, carga exponencial |
02Sumar infinitos términos
Una serie es la suma de todos los términos de una sucesión. No se puede «sumar hasta el infinito», así que se define por sus sumas parciales: se suman n términos y se estudia el límite de esa nueva sucesión.
Con r = 1/2: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 2. Infinitos términos, resultado finito. Con |r| ≥ 1 la serie diverge: cada término aporta tanto o más que el anterior.
Los términos de 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … tienden a cero, y sin embargo la serie diverge: la suma crece sin límite, sólo que muy despacio (para pasar de 20 hacen falta más de 200 millones de términos). Que el término general tienda a cero es necesario pero no suficiente.
03Criterios de convergencia
| Criterio | Qué se mira | Conclusión |
|---|---|---|
| Término general | lím an | Si no tiende a 0, diverge. Si tiende a 0, no dice nada |
| Comparación | Otra serie conocida | Menor que una convergente: converge. Mayor que una divergente: diverge |
| Cociente (D'Alembert) | L = lím |an+1/an| | L < 1 converge; L > 1 diverge; L = 1 no decide |
| Raíz (Cauchy) | L = lím n√|an| | Igual que el anterior |
| Integral | ∫1∞ f(x) dx con f decreciente positiva | La serie y la integral corren la misma suerte |
| Leibniz (alternadas) | |an| decreciente y con límite 0 | Converge, y el error es menor que el primer término despreciado |
Con el criterio de la integral se resuelven de un saque las series p, Σ1/np: convergen si p > 1 y divergen si p ≤ 1. Por eso Σ1/n² converge —a π²/6— y la armónica, con p = 1, no.
Cada punto es una suma parcial. Se ve enseguida si se acercan a un valor o si se escapan.
04Series de potencias y de Taylor
Una serie de potencias es una suma infinita de términos cn(x − a)n: un «polinomio infinito». Converge dentro de un intervalo centrado en a, cuyo radio de convergencia se calcula con el criterio del cociente.
Cuando los coeficientes se eligen con las derivadas de una función —cn = f(n)(a)/n!— se obtiene la serie de Taylor, que es el polinomio de Taylor llevado al infinito:
Reemplazando x por jθ en la serie de ex y separando las partes real e imaginaria aparecen, exactamente, las series del coseno y del seno: ejθ = cos θ + j·sen θ. De ahí sale toda la notación fasorial con la que se resuelve la corriente alterna, y la razón de que un exponencial complejo describa una rotación.
05Primera mirada a Fourier
Taylor arma funciones sumando potencias. Fourier arma señales periódicas sumando senoidales: una fundamental y sus armónicas, cada una con su amplitud.
Subí la cantidad de armónicas y mirá cómo se va formando la onda. Abajo, el espectro: la amplitud de cada una.
Esto explica de una sola vez por qué una onda cuadrada necesita ancho de banda: si el circuito no deja pasar las armónicas altas, los flancos se redondean. Y por qué, aunque se sumen cien armónicas, cerca del salto queda un sobrepico de casi el 9 % de la altura del salto: es el fenómeno de Gibbs, que no desaparece nunca. El tema completo está en señales y Fourier.
06Series en electrónica
- Espectro de una señal. Lo que muestra un analizador de espectro son los coeficientes de Fourier. Se puede ver en el simulador de instrumental.
- Distorsión armónica. La THD se define con los coeficientes: es la relación entre el valor eficaz de todas las armónicas y el de la fundamental.
- Reflexiones múltiples. En una línea de transmisión desadaptada en los dos extremos, la señal rebota y cada rebote se multiplica por Γ₁Γ₂: la suma total es una serie geométrica.
- Cálculo de funciones en un microcontrolador. Sin unidad de punto flotante, el seno y el logaritmo se calculan con desarrollos en serie truncados, eligiendo cuántos términos según la precisión pedida.
- Convergencia de un algoritmo. Que el error de un método iterativo tienda a cero como una progresión geométrica es lo que garantiza que el programa termine.
07En el laboratorio
Decidir si convergen Σ1/(n² + 1), Σn/(2n + 1) y Σ1/2n, justificando con el criterio usado. Verificar con el laboratorio de sumas parciales.
Aplicar una onda cuadrada de 1 kHz a un filtro pasa-bajos de frecuencia de corte variable. Observar cómo se redondean los flancos a medida que se cortan armónicas, y relacionarlo con la síntesis del laboratorio.
Programar el seno con su serie de Taylor truncada en 3, 5 y 7 términos y comparar el error contra la función de la biblioteca, para ángulos de 0 a π/2. Medir además cuántos ciclos tarda cada versión.
08Errores frecuentes
- Concluir que una serie converge porque an → 0. La armónica es el contraejemplo.
- Usar la fórmula de la geométrica con |r| ≥ 1.
- Aplicar el criterio del cociente cuando da 1 y sacar una conclusión igual.
- Olvidar el radio de convergencia de una serie de potencias y usarla fuera de él.
- Creer que sumando más armónicas desaparece el sobrepico de Gibbs: se angosta, pero su altura se mantiene.
- Confundir la suma de la serie con el término general.
09Autoevaluación
¿Cuánto vale 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + …?
Geométrica con r = 1/3: 1/(1 − 1/3) = 3/2.
¿Converge Σ 1/n1,5?
Sí: es una serie p con p = 1,5 > 1.
¿Y Σ n/(n + 1)?
No: el término general tiende a 1, no a 0. Diverge.
Aplicar el criterio del cociente a Σ 1/n!.
an+1/an = 1/(n + 1) → 0 < 1: converge. Su suma es e − 1 si empieza en n = 1.
¿Qué armónicas tiene una onda cuadrada simétrica?
Sólo las impares, con amplitud proporcional a 1/n. Por eso su espectro decae despacio y necesita mucho ancho de banda.
¿De dónde sale ejθ = cos θ + j sen θ?
De reemplazar x por jθ en la serie de la exponencial: los términos pares dan la serie del coseno y los impares, la del seno multiplicada por j.
10Para ampliar
- James Stewart. Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. 7.ª ed., Cengage Learning, 2012. El capítulo 11 cubre sucesiones, series, criterios y series de potencias con muchos ejemplos.
- Tom M. Apostol. Calculus, volumen 1. 2.ª ed., Reverté. Los criterios demostrados y la relación entre series e integrales impropias.
- Alan V. Oppenheim y Alan S. Willsky. Señales y sistemas. 2.ª ed., Prentice Hall, 1998. La continuación natural: series y transformada de Fourier aplicadas a señales y circuitos.