Integrales dobles y triples
Integrar en más de una variable es sumar sobre una región del plano o del espacio: áreas, volúmenes, masas y cargas distribuidas.
01Sumar sobre una región
La integral simple sumaba sobre un intervalo. La integral doble suma sobre una región del plano: se parte la región en rectangulitos, se evalúa la función en cada uno, se multiplica por su área y se suman todos.
Igual que antes, nadie calcula el límite: se lo convierte en dos integrales simples encadenadas, las integrales iteradas. Se integra primero en una variable, tratando la otra como constante, y después en la que queda.
02Los límites, que es lo único difícil
Para una región donde, para cada x entre a y b, la y va entre dos curvas:
La misma región se puede recorrer al revés: para cada y, la x entre dos curvas. El resultado es el mismo —lo garantiza el teorema de Fubini— pero una de las dos formas suele ser mucho más fácil, y a veces la otra es directamente imposible de resolver a mano. Dibujar la región es obligatorio: es la única manera de leer los límites sin equivocarse.
La grilla muestra los rectangulitos de la suma; cada uno aporta f·ΔA. Subí la resolución y mirá cómo converge.
03Coordenadas polares: cuando la región es redonda
Si la región es un círculo o un sector, los límites en cartesianas salen con raíces incómodas. En polares se vuelven constantes:
El área de un círculo de radio R: ∬dA = ∫₀2π∫₀R ρ dρ dθ = ∫₀2π (R²/2) dθ = πR². Olvidar el ρ habría dado 2πR, que ni siquiera tiene unidades de área.
En tres dimensiones el mismo criterio da las cilíndricas (dV = ρ dρ dθ dz), cómodas para tubos y bobinas, y las esféricas (dV = r² sen φ dr dφ dθ), cómodas para esferas y para campos radiales.
04Para qué se usan
| Magnitud | Integral | En electrónica |
|---|---|---|
| Área | ∬ dA | Superficie de un disipador o de una pista |
| Volumen | ∭ dV, o ∬ f dA | Volumen de un encapsulado, de un núcleo magnético |
| Masa | ∬ δ(x,y) dA | Con densidad variable; igual para carga con densidad superficial σ |
| Centro de masa | (1/m)∬ x·δ dA | Equilibrio mecánico de un conjunto, centro de gravedad de una placa |
| Momento de inercia | ∬ r²·δ dA | Rotores, discos, ejes: determina la aceleración angular |
| Valor medio | (1/A)∬ f dA | Temperatura promedio de una placa, iluminancia media de un ambiente |
Y una que aparece en cuanto se estudian campos: la carga total de una distribución superficial es la integral doble de la densidad, y de ahí sale el campo aplicando el teorema de Gauss, que se ve en los teoremas del cálculo vectorial.
05En el laboratorio
Calcular ∬ xy dA sobre el triángulo de vértices (0,0), (2,0) y (2,2), primero integrando en y y después en x, y luego al revés. Verificar que da lo mismo y comparar el trabajo de cada camino.
Calcular ∬ (x² + y²) dA sobre el círculo de radio 2 en los dos sistemas. El objetivo es palpar por qué en polares sale en tres renglones.
Recortar una placa de forma irregular en cartón, calcular su centro de masa dividiéndola en figuras simples y verificarlo colgándola de dos puntos distintos: las verticales se cruzan en el centro de gravedad.
06Errores frecuentes
- Poner límites variables en la integral de afuera. Los de afuera son números; si queda una variable suelta, el planteo está mal.
- Olvidar el jacobiano ρ al pasar a polares, o el r²sen φ en esféricas.
- No dibujar la región y deducir los límites de memoria.
- Cambiar el orden sin rehacer los límites: no alcanza con intercambiar dx y dy.
- Integrar una densidad y llamar al resultado «área»: conviene mirar las unidades del resultado.
07Autoevaluación
Calcular ∫₀¹∫₀² xy dy dx.
La de adentro: ∫₀² xy dy = x·[y²/2]₀² = 2x. Después ∫₀¹ 2x dx = 1.
¿Qué representa ∬ dA sobre una región?
El área de la región.
¿Por qué aparece el factor ρ en polares?
Porque el elemento de área en polares no es dρ dθ sino ρ dρ dθ: el arco crece con el radio. Es el jacobiano del cambio de variables.
Área del círculo de radio 3 con integral doble en polares.
∫₀2π∫₀³ ρ dρ dθ = ∫₀2π (9/2) dθ = 9π ≈ 28,3.
¿Cómo se calcula la carga de una placa con densidad σ(x,y)?
Integrando la densidad sobre la superficie: Q = ∬ σ(x,y) dA.
08Para ampliar
- James Stewart. Cálculo de varias variables. Trascendentes tempranas. 7.ª ed., Cengage Learning, 2012. El capítulo 15 trata integrales dobles y triples, cambio de orden, polares y aplicaciones físicas.
- Jerrold E. Marsden y Anthony J. Tromba. Cálculo vectorial. 5.ª ed., Pearson, 2004. Desarrolla con cuidado el cambio de variables y el jacobiano en general.
- Claudio Pita Ruiz. Cálculo vectorial. Prentice Hall. Muchos ejemplos resueltos de planteo de límites, que es donde se traba casi todo el mundo.