Teoremas del cálculo vectorial
Green, Gauss y Stokes dicen lo mismo en distintas dimensiones: lo que pasa adentro de una región queda determinado por lo que ocurre en su borde. De ahí salen las ecuaciones de Maxwell.
01Una sola idea, tres enunciados
Los tres teoremas que cierran el cálculo vectorial dicen lo mismo con vestimentas distintas: lo que pasa en el borde queda determinado por lo que pasa adentro. Es la misma estructura de la regla de Barrow, pero con una dimensión más cada vez.
| Teorema | Borde | Interior |
|---|---|---|
| Barrow | f(b) − f(a): dos puntos | ∫f′ sobre el segmento |
| Green | Circulación por una curva cerrada del plano | ∬ rotacional sobre la región encerrada |
| Stokes | Circulación por el borde de una superficie | ∬ rot F · n̂ sobre la superficie |
| Divergencia (Gauss) | Flujo por una superficie cerrada | ∭ divergencia sobre el volumen |
Cuando el interior es difícil, se calcula el borde; cuando el borde es difícil, se calcula el interior. Toda la ingeniería de campos vive de esa elección. La ley de Gauss resuelve en dos renglones el campo de una esfera cargada porque cambia una integral de volumen por una de superficie.
02Teorema de Green
Para una curva cerrada simple C del plano, recorrida en sentido antihorario, que encierra la región D:
Un caso llamativo: con P = −y/2 y Q = x/2 el integrando vale 1, así que la integral de la derecha es el área de D. Eso permite medir el área de una figura recorriendo únicamente su contorno, y es el principio del planímetro, el instrumento mecánico con el que se medían superficies en un plano antes de que existiera el cálculo digital.
A la izquierda, la circulación por el borde; a la derecha, el rotacional sumado sobre el interior. El teorema dice que dan lo mismo.
03Teorema de la divergencia
Aplicado al campo eléctrico convierte la ley de Gauss integral en la primera ecuación de Maxwell: si el flujo por cualquier superficie cerrada es la carga encerrada sobre ε₀, y la carga es la integral de la densidad ρ, entonces los dos integrandos de volumen tienen que coincidir punto a punto:
Aplicado a la densidad de corriente da la ecuación de continuidad, ∇·J = −∂ρ/∂t: la carga no desaparece, y de ahí sale la ley de nodos de Kirchhoff cuando nada se acumula.
04Teorema de Stokes
Lo notable es que el miembro de la izquierda no menciona a S: cualquier superficie que tenga a C como borde da el mismo resultado. Aplicado al campo eléctrico convierte la ley de Faraday integral en la forma diferencial ∇ × E = −∂B/∂t, y aplicado al magnético da ∇ × H = J + ∂D/∂t.
Si se aplica Stokes a la espira que rodea un capacitor, se puede elegir una superficie que atraviese el cable —y ve corriente— u otra que pase entre las placas —donde no hay cable—. Como el resultado tiene que ser el mismo, hace falta un término extra: el ∂D/∂t que agregó Maxwell. Ese término es el que hace que exista la onda electromagnética, y con ella toda la radiocomunicación.
05Las cuatro ecuaciones, ya completas
| Forma integral | Teorema que se usa | Forma diferencial |
|---|---|---|
| ∯E·n̂ dS = Q/ε₀ | Divergencia | ∇·E = ρ/ε₀ |
| ∯B·n̂ dS = 0 | Divergencia | ∇·B = 0 |
| ∮E·dr = −dΦB/dt | Stokes | ∇×E = −∂B/∂t |
| ∮H·dr = I + dΦD/dt | Stokes | ∇×H = J + ∂D/∂t |
Todo el cálculo vectorial de la materia termina acá: en las cuatro ecuaciones que gobiernan cualquier circuito, cualquier línea de transmisión y cualquier antena. Lo que sigue en la carrera —desde el comportamiento de las líneas hasta la adaptación de impedancias— es leerlas en casos particulares.
06En el laboratorio
Verificar Green para F = (−y, x) sobre el círculo de radio 2: la circulación directa da 2πr² = 8π y la doble integral del rotacional da 2·área = 2·4π = 8π. Repetir con el rectángulo [0,3] × [0,2].
Digitalizar el contorno de una figura irregular con veinte puntos y aplicar la fórmula del área de Green en forma discreta. Comparar con el área medida por conteo de cuadrículas.
Para una espira circular en un campo uniforme, calcular el flujo a través del disco plano y a través de una semiesfera que se apoya en el mismo borde. Verificar que coinciden, como anticipa Stokes.
07Errores frecuentes
- Recorrer el borde en sentido horario y olvidar el cambio de signo.
- Aplicar Green a una región con un agujero sin restar la circulación del borde interno. Es justo lo que pasa con el campo del hilo con corriente.
- Usar Green con un campo que no es derivable en algún punto interior, como 1/ρ en el origen.
- Confundir la normal de Stokes: su sentido lo fija la regla de la mano derecha respecto del recorrido del borde.
- Aplicar el teorema de la divergencia a una superficie abierta: tiene que ser cerrada.
08Autoevaluación
¿Cuál es la circulación de F = (−y, x) por el círculo de radio 3?
Por Green: rot = 2, así que vale 2·área = 2·9π = 18π ≈ 56,5.
¿Por qué ∮(−y dx + x dy)/2 da el área encerrada?
Porque ∂Q/∂x − ∂P/∂y = 1/2 + 1/2 = 1, y la doble integral de 1 sobre D es su área.
¿Qué ecuación de Maxwell sale de aplicar el teorema de la divergencia a la ley de Gauss?
∇·E = ρ/ε₀.
¿Qué significa que ∇·B = 0?
Que no existen cargas magnéticas aisladas: todo lo que entra en una superficie cerrada también sale, y las líneas de B siempre se cierran sobre sí mismas.
Dos superficies distintas comparten el mismo borde. ¿Puede diferir el flujo del rotacional?
No: por Stokes, ambas dan la misma circulación por el borde.
¿Qué término hizo falta agregar para que Stokes fuera consistente en un capacitor?
La corriente de desplazamiento ∂D/∂t, el aporte de Maxwell que predijo las ondas electromagnéticas.
09Para ampliar
- James Stewart. Cálculo de varias variables. Trascendentes tempranas. 7.ª ed., Cengage Learning, 2012. Secciones 16.4 a 16.9: Green, Stokes y divergencia con muchos ejercicios resueltos.
- Jerrold E. Marsden y Anthony J. Tromba. Cálculo vectorial. 5.ª ed., Pearson, 2004. Trata los tres teoremas como casos de uno solo y explica bien la cuestión de la orientación.
- Matthew N. O. Sadiku. Elementos de electromagnetismo. 5.ª ed., Alfaomega, 2018. El paso de la forma integral a la diferencial de las cuatro ecuaciones de Maxwell, paso por paso.
- Richard P. Feynman. Física, volumen II: electromagnetismo y materia. Addison-Wesley / Pearson, 1964. Los capítulos 2 y 3 explican el cálculo vectorial desde la intuición física, sin perder rigor.