Integrales de línea y de superficie
El trabajo de una fuerza a lo largo de un camino y el flujo de un campo a través de una superficie son las dos integrales con las que se escribe el electromagnetismo.
01Integrar a lo largo de una curva
Hasta ahora se integraba sobre intervalos y sobre regiones. Ahora el dominio es una curva. Si lo que se integra es un campo escalar —una densidad, por ejemplo—, la integral de línea da la cantidad total a lo largo del alambre:
Con f = 1 se obtiene la longitud de la curva; con f = densidad lineal, la masa de un alambre; con f = densidad de carga, la carga total de un conductor filiforme.
02Circulación: el trabajo de un campo
Si lo que se integra es un campo vectorial, sólo cuenta la componente que acompaña al camino. Aparece un producto escalar, y el resultado es el trabajo —o la circulación—:
Cambiar el sentido de recorrido cambia el signo. Y cuando la curva es cerrada se escribe con un círculo sobre la integral: esa es la circulación, que en electromagnetismo aparece en la ley de Ampère y en la ley de Faraday.
Los tres caminos unen los mismos extremos. Con un campo conservativo dan lo mismo; con uno que no lo es, no.
03Independencia del camino
Si F = ∇f, entonces para cualquier camino C que va de A a B:
Es la regla de Barrow del cálculo vectorial: sólo importan los extremos. Y si el camino es cerrado, A = B y la integral vale cero.
Por eso en un circuito de corriente continua la ley de mallas dice que la suma de tensiones en un lazo cerrado es cero: el campo electrostático es conservativo. En cambio, cuando hay un flujo magnético variable, la circulación de E alrededor de una espira no es cero, y su valor es la fem inducida: justamente eso es la ley de Faraday.
04Integrales de superficie y flujo
El paso siguiente es integrar sobre una superficie. Con un campo escalar se obtiene, por ejemplo, la masa de una lámina; con un campo vectorial, el flujo: cuánto atraviesa la superficie.
| Flujo de | Se llama | Dónde aparece |
|---|---|---|
| Campo eléctrico E | Flujo eléctrico | Ley de Gauss: Φ = Qencerrada/ε₀ |
| Campo magnético B | Flujo magnético Φ, en weber | Ley de Faraday: fem = −dΦ/dt. Es el principio del transformador |
| Densidad de corriente J | Corriente | I = ∬ J·n̂ dS a través de la sección de un conductor |
| Vector de Poynting S = E × H | Potencia | La potencia que transporta una onda a través de una superficie |
Una superficie cerrada tiene normal hacia afuera por convención; una abierta necesita que se declare cuál es su cara positiva, y esa elección fija el sentido positivo de recorrido del borde por la regla de la mano derecha. El signo menos de la ley de Faraday —la ley de Lenz— depende de esa convención.
05Dónde se usa esto en electrónica
- Fem inducida. Un transformador funciona porque un flujo magnético variable a través del secundario induce una circulación de campo eléctrico: la tensión de salida. Todo el cálculo es una integral de superficie derivada en el tiempo.
- Inductancia. Se define como flujo concatenado sobre corriente, L = Φ/I: otra integral de superficie.
- Corriente por un conductor. Si la densidad de corriente no es uniforme —efecto pelicular a alta frecuencia— la corriente total es la integral de J sobre la sección.
- Potencia radiada por una antena. Es el flujo del vector de Poynting a través de una esfera que la rodea. De ahí sale el diagrama de radiación de antenas.
- Disipación térmica. El calor que sale de un disipador es el flujo del vector de flujo de calor por su superficie.
06En el laboratorio
Calcular a mano ∫F·dr para F = (y, x) desde (0,0) hasta (2,1), primero por el segmento recto y después por el camino en L. Verificar que coinciden y hallar el potencial f = xy que lo explica.
Con una bobina y un imán, medir la tensión inducida al moverlo a distintas velocidades. Relacionar la lectura con −dΦ/dt y verificar que el signo cambia al invertir el movimiento.
Calcular el flujo de un campo uniforme a través de una espira plana para tres ángulos distintos, y comprobar experimentalmente que la fem inducida al girarla es máxima cuando el plano es paralelo al campo.
07Errores frecuentes
- Olvidar el factor |r′(t)| en la integral de línea de un campo escalar.
- Confundir ∫f ds con ∫F·dr: la primera no depende del sentido, la segunda sí.
- Suponer que el trabajo no depende del camino sin verificar que el campo sea conservativo.
- Olvidar la orientación de la superficie y errarle al signo del flujo.
- Integrar el módulo del campo en lugar de su componente normal al calcular flujo.
08Autoevaluación
¿Qué representa ∫C ds con f = 1?
La longitud de la curva C.
Calcular ∫F·dr para F = (y, x) de (0,0) a (2,1) por el segmento recto.
Como F = ∇(xy), la integral vale f(2,1) − f(0,0) = 2 − 0 = 2, sin importar el camino.
¿Cuánto vale la circulación de un campo conservativo en un camino cerrado?
Cero.
¿Por qué la ley de mallas de Kirchhoff es un caso de esto?
Porque la suma de caídas de tensión en un lazo es la circulación del campo electrostático, que es conservativo y por lo tanto da cero.
Una espira de 5 cm² en un campo de 0,2 T perpendicular. ¿Cuál es el flujo?
Φ = B·A = 0,2 · 5·10−4 = 10−4 Wb. Si el campo se anulara en 1 ms, la fem media sería 0,1 V.
¿Qué mide el flujo del vector de Poynting?
La potencia electromagnética que atraviesa la superficie considerada.
09Para ampliar
- James Stewart. Cálculo de varias variables. Trascendentes tempranas. 7.ª ed., Cengage Learning, 2012. El capítulo 16 recorre integrales de línea, independencia del camino y superficies.
- Jerrold E. Marsden y Anthony J. Tromba. Cálculo vectorial. 5.ª ed., Pearson, 2004. Con el cuidado formal sobre orientación y parametrización de superficies.
- Matthew N. O. Sadiku. Elementos de electromagnetismo. 5.ª ed., Alfaomega, 2018. Las mismas integrales, pero planteadas siempre desde un problema de campos.