Campos vectoriales, rotacional y divergencia
Un campo asigna un vector a cada punto del espacio. La divergencia mide si hay fuentes y el rotacional, si hay circulación: las dos preguntas centrales del electromagnetismo.
01Un vector en cada punto
Un campo vectorial asigna un vector a cada punto del espacio. No es una curva ni una superficie: es una distribución. El viento en un mapa, la velocidad del agua en un río, el campo eléctrico alrededor de una carga y el campo magnético dentro de un transformador son campos vectoriales.
Las líneas de campo son las curvas tangentes al campo en cada punto: muestran «por dónde iría» algo arrastrado por él. Nunca se cruzan —en un cruce habría dos direcciones— y su densidad indica la intensidad.
El campo más importante para la electrónica aparece derivando: si V es el potencial, entonces E = −∇V. Un campo así, que es el gradiente de algo, se llama conservativo, y tiene propiedades especiales que se ven en la sección 5.
02Divergencia: ¿hay fuentes?
- div F > 0: hay una fuente; el campo nace ahí. Una carga positiva.
- div F < 0: hay un sumidero. Una carga negativa.
- div F = 0: campo solenoidal. Todo lo que entra, sale.
∇·E = ρ/ε₀: las cargas son las fuentes del campo eléctrico.
∇·B = 0: el campo magnético no tiene fuentes, es decir, no existen los monopolos. Las
líneas de B siempre se cierran sobre sí mismas, y por eso un imán partido al medio da dos imanes.
03Rotacional: ¿hay circulación?
En el plano, con F = (P, Q), sólo sobrevive la componente z: rot F = ∂Q/∂x − ∂P/∂y. Un campo con rotacional nulo se llama irrotacional.
Un campo puede tener las líneas circulares y rotacional nulo en todos lados menos el origen —es el caso del campo alrededor de un hilo con corriente, que decae como 1/ρ—, y al revés, un campo de líneas rectas y paralelas puede tener rotacional si su intensidad cambia de un lado al otro. Lo que importa no es la forma de las líneas sino la circulación local.
Tocá un punto del campo y se calculan ahí la divergencia y el rotacional, con una ruedita que gira si hay circulación.
04Campos conservativos
Un campo es conservativo si proviene de un potencial: F = ∇f. Tres propiedades equivalentes, en una región simplemente conexa —sin agujeros—:
Hay una función f con F = ∇f.
∇ × F = 0 en toda la región.
La integral entre dos puntos no depende de la trayectoria, y en un camino cerrado vale cero.
El campo electrostático es conservativo, y por eso tiene sentido hablar de potencial y de tensión entre dos puntos sin aclarar por qué camino. Cuando hay campos magnéticos variables deja de serlo —∇×E = −∂B/∂t ≠ 0— y entonces la «tensión» entre dos puntos depende del camino: eso es lo que hace que aparezca una fem inducida en una espira, y también lo que complica medir con el osciloscopio cerca de un transformador.
El campo del hilo con corriente tiene rotacional nulo en todo punto salvo el origen, y sin embargo su circulación alrededor del hilo no es cero: vale μ₀I. No hay contradicción: la región tiene un agujero, no es simplemente conexa, y ahí el teorema no aplica. Es exactamente la ley de Ampère.
05El operador nabla y sus combinaciones
∇ se comporta como un vector de derivadas, y combinándolo con las tres operaciones —producto por escalar, escalar y vectorial— salen los tres operadores del cálculo vectorial:
| Operación | Entra | Sale | Significado |
|---|---|---|---|
| ∇f · gradiente | Escalar | Vector | Dirección de máximo crecimiento |
| ∇·F · divergencia | Vector | Escalar | Fuentes y sumideros |
| ∇×F · rotacional | Vector | Vector | Circulación local |
| ∇²f = ∇·∇f · laplaciano | Escalar | Escalar | Cuánto se aparta un punto del promedio de su entorno |
Dos identidades que conviene tener memorizadas, porque simplifican cuentas largas: ∇·(∇×F) = 0 —la divergencia de un rotacional siempre es cero— y ∇×(∇f) = 0 —el rotacional de un gradiente también—. La primera es la razón matemática de que no existan monopolos magnéticos si B se escribe como el rotacional de un potencial vector.
El laplaciano aparece en la ecuación de Laplace ∇²V = 0, que gobierna el potencial en una región sin cargas, y en la ecuación de onda, que gobierna la propagación en una línea de transmisión y en el espacio libre.
06En el laboratorio
Para F = (x²y, xy², 0), calcular divergencia y rotacional a mano y verificar los resultados en dos puntos con el laboratorio de la sección 3, comparando con sus valores numéricos.
Con limaduras de hierro y un imán, fotografiar las líneas de B y verificar que se cierran. Discutir por qué eso implica ∇·B = 0.
Dado F = (2xy, x² + 1), verificar que es conservativo y hallar la función potencial integrando. Comprobar que su gradiente devuelve el campo original.
07Errores frecuentes
- Confundir divergencia con rotacional: una da un escalar, el otro un vector.
- Calcular el rotacional sin respetar el orden del determinante, y quedarse con el signo cambiado.
- Suponer que líneas curvas implican rotacional, o que líneas rectas implican rotacional nulo.
- Aplicar «rot F = 0 ⟹ conservativo» en una región con agujeros.
- Olvidar que ∇ no es un vector común: no conmuta, porque deriva lo que tiene a la derecha.
08Autoevaluación
Calcular la divergencia de F = (x, y, z).
1 + 1 + 1 = 3: hay fuente en todos lados, es el campo de una expansión uniforme.
Rotacional de F = (−y, x, 0).
∂Q/∂x − ∂P/∂y = 1 − (−1) = 2, en la dirección k̂: (0, 0, 2). Es una rotación rígida.
¿Qué dice ∇·B = 0?
Que no existen monopolos magnéticos: las líneas de campo magnético se cierran sobre sí mismas.
¿Es F = (y, x) conservativo?
∂Q/∂x = 1 y ∂P/∂y = 1: el rotacional es cero, y el dominio es todo el plano, así que sí. Su potencial es f = xy.
¿Cuánto vale ∇·(∇×F)?
Cero, siempre, para cualquier campo con derivadas continuas.
¿Por qué el campo electrostático permite hablar de tensión entre dos puntos?
Porque es conservativo: el trabajo no depende del camino, así que la diferencia de potencial está bien definida.
09Para ampliar
- Jerrold E. Marsden y Anthony J. Tromba. Cálculo vectorial. 5.ª ed., Pearson, 2004. El tratamiento clásico de campos, divergencia y rotacional con sus interpretaciones físicas.
- Murray R. Spiegel. Análisis vectorial (serie Schaum). 2.ª ed., McGraw-Hill, 2009. Cientos de ejercicios resueltos con el operador nabla y sus identidades.
- Matthew N. O. Sadiku. Elementos de electromagnetismo. 5.ª ed., Alfaomega, 2018. Explica el cálculo vectorial desde el electromagnetismo: exactamente el enfoque que necesita un electrónico.