Sistemas de Comunicaciones · 96 h · Contenido 7 de 11

Ruido en modulaciones analógicas

Por encima del umbral, una FM con β = 5 supera en 16 dB a la mejor modulación lineal. Unos 5 dB por debajo del umbral, ya es peor que una DSB.

Relación señal a ruido DSB, SSB y AM Mejora de FM Umbral de FM Preénfasis

01Una referencia común

Para comparar modulaciones hace falta una medida que no dependa de ellas. Se toma como referencia la transmisión del mensaje en banda base, sin modular, con la misma potencia recibida \( S_i \) y ruido blanco de densidad \( N_0/2 \) en el ancho de banda \( W \) del mensaje:

\[ \gamma = \frac{S_i}{N_0 W} \] γ es la relación señal a ruido que se obtendría en banda base. Cada modulación se caracteriza por la relación a la salida del demodulador, \( \mathrm{SNR_o} \), comparada con γ. El ruido térmico y su densidad se vieron en la introducción de la materia.

El ruido que llega al demodulador es pasabanda. Escrito con su envolvente compleja, tiene una componente en fase y otra en cuadratura, independientes y de la misma potencia. Un demodulador coherente solo ve la componente en fase; un detector de envolvente o de frecuencia, las dos.

02Modulaciones lineales

En DSB-SC con demodulación coherente, la señal ocupa \( 2W \) y el ruido también, pero el receptor descarta la componente en cuadratura del ruido y suma coherentemente las dos bandas laterales. En SSB la señal ocupa \( W \) y entra la mitad del ruido. En los dos casos el resultado es el de banda base:

\[ \mathrm{SNR_o^{DSB}} = \mathrm{SNR_o^{SSB}} = \gamma \] \[ \mathrm{SNR_o^{AM}} = \eta\, \gamma = \frac{m^2 \langle s^2 \rangle}{1 + m^2 \langle s^2 \rangle}\, \gamma \] En AM la portadora consume potencia y no aporta al mensaje: con un tono y m = 1 el rendimiento es un tercio, y la AM queda 4,8 dB por debajo de DSB. La fórmula vale con detección coherente, o con detector de envolvente si la portadora es mucho mayor que el ruido.

Cuando el ruido se acerca a la portadora, el detector de envolvente sigue más al ruido que al mensaje y la salida se degrada mucho más rápido que γ: es el efecto umbral de AM, que aparece con relaciones portadora a ruido de unos 10 dB. El detector coherente no tiene umbral.

03FM: calidad a cambio de ancho de banda

En FM el mensaje está en la frecuencia instantánea, que es la derivada de la fase. El ruido de fase, al derivarse, tiene una densidad que crece con el cuadrado de la frecuencia: el ruido a la salida se concentra en los agudos. Con el mensaje normalizado a \( |s| \le 1 \) y la relación portadora a ruido alta, el resultado es:

\[ \mathrm{SNR_o^{FM}} = 3\beta^2 \langle s^2 \rangle\, \gamma \] Con un tono, \( \langle s^2 \rangle = 1/2 \) y la mejora sobre DSB es \( 1{,}5\,\beta^2 \): 15,7 dB con β = 5. El ancho de banda, por la regla de Carson, crece solo con β, así que duplicar el ancho de banda mejora la relación unas cuatro veces.

La ganancia tiene un límite: el umbral de FM. Si la relación portadora a ruido en el ancho de banda de Carson cae por debajo de unos 10 dB, el ruido hace girar el fasor alrededor del origen, la fase salta \( 2\pi \) y el discriminador entrega impulsos, los clics que se oyen en una radio FM mal sintonizada. Como el ancho de banda crece con β, el umbral se alcanza con γ mayores cuanto más ancha es la FM:

\[ \frac{S_i}{N_0 B_T} = \frac{\gamma}{2(\beta + 1)} \gtrsim 10 \] Con β = 5 el umbral está en γ ≈ 20 dB. Por encima, la FM supera a cualquier modulación lineal; por debajo, se derrumba. Los demoduladores con PLL o con realimentación de frecuencia bajan el umbral unos pocos dB.

Laboratorio · SNR a la salida y umbral de FM

La relación señal a ruido a la salida en función de γ, con un tono. La línea gris es DSB y SSB; la naranja, AM con m = 1; la azul, FM con el efecto umbral, y la punteada, la FM ideal por encima del umbral. El umbral se modela con la aproximación clásica de Taub y Schilling para un tono.

Índice de modulación β =

γ =

04Preénfasis y deénfasis

Como el ruido de FM crece con la frecuencia y el audio tiene poca energía en los agudos, el transmisor refuerza las frecuencias altas con una red de preénfasis, y el receptor las atenúa con la red inversa, de deénfasis. El mensaje queda igual, pero el ruido de los agudos baja. En FM comercial la constante de tiempo es de 75 μs en los Estados Unidos y de 50 μs en Europa:

\[ I = \frac{(W/f_1)^3}{3\,\big[W/f_1 - \arctan(W/f_1)\big]} \] \( f_1 = 1/(2\pi\tau) \) es la frecuencia de corte de la red. Con τ = 75 μs, \( f_1 \) = 2,12 kHz y, para W = 15 kHz, la mejora es de 13,2 dB; con 50 μs, de 10,2 dB. Se supone que la preénfasis no aumenta la desviación máxima.

05En el laboratorio

Actividad 1 · El umbral de FM

Recibir una FM de un generador, agregar ruido con un generador de ruido blanco y bajar la señal hasta que aparecen los clics. Medir la relación portadora a ruido en ese punto con el analizador de espectro.

Actividad 2 · AM contra FM

Con la misma potencia de señal y el mismo ruido, comparar la relación señal a ruido de audio de un receptor de AM y uno de FM.

Actividad 3 · Deénfasis

Medir el ruido a la salida del discriminador con y sin la red de deénfasis, en función de la frecuencia.

06Errores frecuentes

Creer que DSB mejora a SSB por ocupar el doble. Entra el doble de ruido: la relación a la salida es la misma.
Extrapolar la mejora de FM a cualquier nivel de señal. Bien por debajo del umbral, la FM es peor que una modulación lineal.
Comparar modulaciones con distinta potencia. La comparación se hace con la misma \( S_i \) y la misma \( N_0 \).
Olvidar que el ruido de FM no es blanco a la salida. Crece con la frecuencia, y por eso sirve la preénfasis.

07Autoevaluación

¿Cuántos dB pierde AM con m = 1 y un tono respecto de DSB?

\( 10\log_{10} 3 \approx 4{,}8 \) dB.

¿Qué mejora sobre DSB da una FM con β = 2 y un tono?

\( 1{,}5 \cdot 4 = 6 \): 7,8 dB.

Con β = 4, ¿cuál es la γ mínima para operar por encima del umbral?

\( 10 \cdot 2 \cdot 5 = 100 \): unos 20 dB.

¿Por qué se oyen clics en una radio FM con señal débil?

El ruido hace girar la fase \( 2\pi \) y el discriminador entrega un impulso en cada vuelta.

08Para ampliar

Herbert Taub y Donald L. Schilling. Principles of Communication Systems. 2.ª ed., McGraw-Hill, 1986. El ruido en AM y FM con el cálculo del umbral y los clics.
B. P. Lathi y Zhi Ding. Modern Digital and Analog Communication Systems. 5.ª ed., Oxford University Press, 2019. El desempeño de las modulaciones analógicas con ruido y la preénfasis.
A. Bruce Carlson y Paul B. Crilly. Communication Systems. 5.ª ed., McGraw-Hill, 2010. Una comparación sistemática de las modulaciones analógicas con ruido.

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