Modulación digital
Con pulsos de ancho de banda mínimo, un error del 10 % en el instante de muestreo cierra el ojo un 40 %. Con el doble de banda, el mismo error lo cierra menos del 10 %.
01Bits, símbolos y pulsos
Un sistema digital agrupa los bits de a \( k \) y transmite uno de \( M = 2^k \) símbolos posibles. Cada símbolo es un pulso de forma conocida cuya amplitud, fase o frecuencia depende de los bits. Hay que distinguir dos velocidades:
La presentación de las modulaciones con los equipos está en modulación digital, de la tecnicatura. Aquí se trabaja con los modelos: la forma del pulso, el ancho de banda y la envolvente compleja de cada modulación.
02Interferencia entre símbolos y el criterio de Nyquist
Un pulso limitado en banda dura, en teoría, un tiempo infinito, y se superpone con los vecinos. Esa interferencia entre símbolos (ISI) no molesta si en el instante de muestreo de cada símbolo los demás pulsos pasan por cero. Es el criterio de Nyquist: el pulso \( p(t) \) debe valer 1 en \( t = 0 \) y 0 en todos los múltiplos de \( T = 1/R_s \). El pulso más angosto en frecuencia que lo cumple es el sinc, que ocupa \( R_s/2 \); en la práctica se usa el coseno alzado, que cae más rápido en el tiempo a cambio de un exceso de banda α:
El diagrama de ojo es la herramienta para ver la ISI: se superponen en el osciloscopio los tramos de la señal de dos períodos de símbolo, disparando con el reloj. La abertura vertical del ojo es el margen contra el ruido; la horizontal, contra los errores en el instante de muestreo.
240 símbolos binarios al azar (±1) con pulsos de coseno alzado, pasados por un canal pasabajos de primer orden. La línea amarilla es el instante de muestreo, que se puede correr respecto del óptimo. La abertura se calcula con el peor caso de todos los símbolos, relativa a la amplitud media.
03Modulaciones pasabanda
Para transmitir por radio, el pulso modula una portadora. Escrita como envolvente compleja, cada modulación es un conjunto de puntos en el plano I/Q, la constelación, y la señal salta de punto en punto a la velocidad de símbolos:
| Modulación | Bits por símbolo | Constelación | Uso típico |
|---|---|---|---|
| ASK / OOK | 1 | Dos puntos sobre el eje I, uno en el origen | Controles remotos, fibra óptica de corto alcance |
| FSK | 1 o más | Frecuencias distintas: no es una constelación plana | Enlaces de baja velocidad, Bluetooth (GFSK) |
| BPSK | 1 | Dos puntos opuestos | Enlaces con mucho ruido, GPS |
| QPSK | 2 | Cuatro puntos en un círculo | Satélite, telefonía celular |
| M-QAM | \( \log_2 M \) | Una grilla de \( \sqrt{M} \times \sqrt{M} \) | Wi-Fi, cable módem, microondas |
Una modulación pasabanda con pulsos de coseno alzado ocupa el doble que en banda base, \( (1 + \alpha) R_s \), porque el espectro se desdobla a ambos lados de la portadora. Los bits se asignan a los puntos con código Gray: los puntos vecinos difieren en un solo bit, y el error más probable, confundir un punto con su vecino, cuesta un solo bit.
04Eficiencia espectral
Por eso los sistemas modernos adaptan la modulación al estado del canal: un teléfono cerca de la antena usa 256-QAM y lejos baja a QPSK. La relación entre la tasa de error, la potencia y el número de puntos es el tema de la unidad de ruido en modulaciones digitales. Las constelaciones M-PSK y FSK, con envolvente constante o casi constante, se prefieren cuando el amplificador de potencia tiene que trabajar cerca de la saturación.
05En el laboratorio
Transmitir una secuencia seudoaleatoria por un cable largo y observar el diagrama de ojo en el osciloscopio, disparando con el reloj de datos. Aumentar la velocidad hasta que el ojo se cierre.
Con un generador vectorial y un analizador, observar las constelaciones de QPSK y 16-QAM y la magnitud del vector de error (EVM).
Medir el ancho de banda ocupado de una QPSK para varios valores de α y compararlo con \( (1 + \alpha)R_s \).
06Errores frecuentes
- Confundir baudios con bit/s. Coinciden solo en las modulaciones binarias.
- Creer que el sinc es la mejor opción. Ocupa la banda mínima, pero su ojo se cierra con el menor error de sincronismo.
- Olvidar que el canal agrega ISI. Aunque el pulso cumpla el criterio de Nyquist, un canal limitado en banda lo deforma, y hace falta un ecualizador.
- Asignar los bits a los puntos en orden binario natural. Sin código Gray, un error entre vecinos puede costar varios bits.
07Autoevaluación
¿A cuántos baudios se transmiten 60 Mbit/s con 64-QAM?
A 10 Mbaudios: cada símbolo lleva 6 bits.
¿Qué ancho de banda ocupa una QPSK de 20 Mbit/s con α = 0,2?
\( R_s \) = 10 Mbaudios y \( B = 1{,}2 \cdot 10 = 12 \) MHz.
¿Qué mide la abertura vertical del ojo?
El margen de amplitud entre los símbolos en el instante de muestreo: cuánto ruido se puede sumar antes de equivocarse.
¿Por qué un α mayor tolera mejor los errores de sincronismo?
Porque las colas del pulso decaen más rápido y la ISI crece más despacio al alejarse del instante óptimo.
08Para ampliar
- John G. Proakis y Masoud Salehi. Digital Communications. 5.ª ed., McGraw-Hill, 2008. La referencia sobre modulaciones digitales, el criterio de Nyquist y la ecualización.
- Bernard Sklar. Digital Communications: Fundamentals and Applications. 2.ª ed., Prentice Hall, 2001. La ISI, el coseno alzado y las modulaciones pasabanda con ejemplos numéricos.
- B. P. Lathi y Zhi Ding. Modern Digital and Analog Communication Systems. 5.ª ed., Oxford University Press, 2019. La transmisión digital en banda base y pasabanda en un mismo marco.