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Ruido en modulaciones digitales

Para un error cada millón de bits, una QPSK necesita 10,5 dB de Eb/N0 y una 64-QAM, 18,8 dB. Triplicar los bits por símbolo cuesta casi siete veces más energía por bit.

Filtro adaptado Función Q Eb/N0 Tasa de error M-QAM

01El receptor óptimo

En un sistema digital el ruido no degrada la calidad de a poco: produce errores de decisión. La medida de desempeño es la probabilidad de error de bit, o BER. El receptor que la minimiza con ruido blanco gaussiano tiene dos partes: un filtro adaptado al pulso, que maximiza la relación señal a ruido en el instante de muestreo, y un comparador que elige el símbolo más cercano. A la salida del filtro adaptado, esa relación depende solo de la energía del pulso, no de su forma:

\[ h(t) = p(T - t) \] \[ \mathrm{SNR_{max}} = \frac{2E}{N_0} \] \( E \) es la energía del pulso y \( N_0/2 \) la densidad espectral del ruido. El filtro adaptado es la versión invertida en el tiempo del pulso: equivale a correlacionar la señal recibida con el pulso esperado.

El ruido a la salida es gaussiano, como se vio en distribuciones de probabilidad. La probabilidad de que supere la mitad de la distancia entre dos símbolos se escribe con la función \( Q \), el área de la cola de la gaussiana normalizada:

\[ Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_x^{\infty} e^{-u^2/2}\, du \] Q(3) ≈ 1,35·10⁻³ y Q(4,75) ≈ 10⁻⁶. La función cae tan rápido que un par de dB de señal cambian la tasa de error en órdenes de magnitud.

02Modulaciones binarias

Para comparar modulaciones se usa la energía por bit \( E_b \) dividida por \( N_0 \): así se comparan con la misma potencia y la misma velocidad, independientemente del ancho de banda. En BPSK, los dos símbolos son opuestos y están separados \( 2\sqrt{E_b} \):

\[ P_b^{\mathrm{BPSK}} = Q\!\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right) \] Para una tasa de error de 10⁻⁶ hacen falta 10,5 dB. QPSK son dos BPSK en cuadratura: tiene la misma tasa de error por bit y ocupa la mitad del ancho de banda.

Modulación	Probabilidad de error de bit	E_b/N₀ para 10⁻⁶
BPSK y QPSK coherentes	\( Q(\sqrt{2E_b/N_0}) \)	10,5 dB
DPSK (diferencial)	\( \tfrac12 e^{-E_b/N_0} \)	11,2 dB
FSK coherente	\( Q(\sqrt{E_b/N_0}) \)	13,5 dB
FSK no coherente	\( \tfrac12 e^{-E_b/2N_0} \)	14,2 dB

La FSK coherente pierde 3 dB frente a BPSK porque sus dos señales son ortogonales y no opuestas: están más cerca. Los receptores no coherentes, que no necesitan recuperar la fase de la portadora, son más simples y pierden algo menos de 1 dB en DPSK.

03Modulaciones de muchos niveles

Con más puntos en la constelación, a igual energía media los puntos quedan más cerca y la tasa de error sube. Para una M-QAM cuadrada con código Gray, con una aproximación válida para tasas de error bajas:

\[ P_b \approx \frac{4}{k}\left(1 - \frac{1}{\sqrt M}\right) Q\!\left(\sqrt{\frac{3k}{M - 1}\, \frac{E_b}{N_0}}\right) \] \[ k = \log_2 M \] Para 10⁻⁶, 16-QAM necesita 14,4 dB y 64-QAM, 18,8 dB. Cada dos bits más por símbolo cuestan unos 4 dB más.

Laboratorio · tasa de error y constelación con ruido

Se transmiten 20 000 símbolos con ruido gaussiano de la potencia que corresponde a la E_b/N₀ elegida. A la izquierda, los primeros 1500 puntos recibidos; a la derecha, las curvas teóricas de las cuatro modulaciones y la tasa medida en la simulación.

E_b/N₀ =

04Eb/N0, relación señal a ruido y enlace

En el receptor se mide la relación portadora a ruido en el ancho de banda \( B \). La relación con \( E_b/N_0 \) pasa por la velocidad:

\[ \frac{S}{N} = \frac{E_b}{N_0} \cdot \frac{R_b}{B} \] Una QPSK de 10 Mbit/s en 6 MHz necesita una relación señal a ruido 2,2 dB mayor que su E_b/N₀. Con la sensibilidad y la figura de ruido de la introducción se cierra el presupuesto del enlace.

Los códigos correctores de errores agregan bits redundantes que permiten corregir errores en el receptor: a cambio de velocidad o de ancho de banda, bajan la \( E_b/N_0 \) necesaria varios dB. Esa ganancia de codificación es la que acerca los sistemas actuales al límite que se estudia en la unidad de teoría de la información.

05En el laboratorio

Actividad 1 · Curva de BER

Con un generador de secuencias seudoaleatorias, un modulador, un generador de ruido y un contador de errores, medir la tasa de error de una BPSK para varias E_b/N₀ y compararla con la teoría.

Actividad 2 · Tiempo de medición

Calcular cuántos bits hay que transmitir para medir con confianza una tasa de 10⁻⁹ a 1 Gbit/s. Regla práctica: contar al menos 100 errores.

Actividad 3 · Filtro adaptado

Programar en un microcontrolador un correlador para pulsos rectangulares y comparar la tasa de error con la de un muestreo simple en el centro del pulso.

06Errores frecuentes

Comparar modulaciones con la misma S/N en lugar de la misma E_b/N₀. Oculta la diferencia de velocidad y ancho de banda.
Confundir tasa de error de símbolo y de bit. Con código Gray, un error de símbolo cuesta en general un solo bit de los \( \log_2 M \).
Medir pocos bits. Con 10⁶ bits no se puede afirmar una tasa de 10⁻⁶: hacen falta muchos más.
Olvidar las pérdidas del receptor real. La sincronización, la ecualización y el ruido de fase agregan uno o dos dB a las curvas teóricas.

07Autoevaluación

¿Qué tasa de error tiene una BPSK con E_b/N₀ = 9,6 dB?

\( E_b/N_0 = 9{,}12 \) y \( Q(\sqrt{18{,}2}) = Q(4{,}27) \approx 10^{-5} \).

¿Por qué QPSK tiene la misma BER que BPSK con la mitad del ancho de banda?

Porque son dos BPSK independientes sobre portadoras en cuadratura, cada una con la misma energía por bit.

¿Cuántos dB más que QPSK necesita 16-QAM para 10⁻⁶?

Unos 4 dB: 14,4 contra 10,5.

Una 16-QAM a 40 Mbit/s ocupa 12 MHz. Si E_b/N₀ = 15 dB, ¿qué S/N tiene?

\( 15 + 10\log_{10}(40/12) \approx 20{,}2 \) dB.

08Para ampliar

John G. Proakis y Masoud Salehi. Digital Communications. 5.ª ed., McGraw-Hill, 2008. El receptor óptimo y las probabilidades de error de todas las modulaciones.
Bernard Sklar. Digital Communications: Fundamentals and Applications. 2.ª ed., Prentice Hall, 2001. El filtro adaptado, las curvas de BER y el presupuesto del enlace.
Simon Haykin. Digital Communication Systems. Wiley, 2014. La detección en ruido gaussiano con un enfoque de espacio de señales.

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