Variables aleatorias y distribuciones
El ruido térmico es normal, la llegada de fotones a un detector es Poisson y el tiempo hasta la falla de un componente es exponencial. Elegir mal la distribución da respuestas que parecen razonables y no lo son.
01De los sucesos a los números
Una variable aleatoria es una función que le asigna un número a cada resultado del experimento. Ese paso, que parece burocrático, es el que permite calcular promedios, varianzas y todo lo demás: los sucesos no se suman, los números sí.
| Discreta | Continua | |
|---|---|---|
| Valores | Contables: 0, 1, 2… | Todo un intervalo |
| Se describe con | \( p(x) = P(X = x) \) | Densidad \( f(x) \) |
| \( P(X = a) \) | Puede ser positiva | Siempre cero |
| Probabilidad | \( \sum p(x) \) | \( \int f(x)\,dx \): es un área |
La tercera fila incomoda y es importante: en una variable continua, la probabilidad de un valor exacto es cero. No porque sea imposible, sino porque hay infinitos valores posibles. Lo que tiene sentido preguntar es la probabilidad de caer en un intervalo, y eso es el área bajo la densidad.
02Las cinco distribuciones de la electrónica
Hay decenas de distribuciones, pero en electrónica aparecen cinco una y otra vez. Cada una modela un mecanismo distinto, y elegir la equivocada da respuestas que parecen razonables y no lo son.
| Distribución | Modela | Dónde aparece |
|---|---|---|
| Binomial | Cuántos éxitos en \( n \) intentos | Piezas buenas en un lote; yield de una oblea |
| Poisson | Cuántos eventos raros en un intervalo | Fotones en un detector, fallas por año, defectos por oblea |
| Uniforme | Todos los valores igual de probables | Error de cuantización de un conversor |
| Normal | Suma de muchos efectos chicos | Ruido térmico, tolerancias de fabricación |
| Exponencial | Tiempo hasta el próximo evento | Vida útil con tasa de falla constante |
Cada una con sus parámetros y su caso de electrónica. La curva de arriba es la densidad y la de abajo la acumulada; la franja sombreada es la probabilidad del intervalo que elijas.
03Por qué la normal aparece en todos lados
No es una casualidad ni una convención: es un teorema. El teorema central del límite dice que la suma de muchas contribuciones independientes tiende a una distribución normal, casi sin importar cómo sea cada una.
| Intervalo | Probabilidad | En la práctica |
|---|---|---|
| \( \mu \pm 1\sigma \) | 68,27 % | La incertidumbre estándar |
| \( \mu \pm 2\sigma \) | 95,45 % | Cerca del 95 % de confianza usual |
| \( \mu \pm 3\sigma \) | 99,73 % | Límites de control de un proceso |
| \( \mu \pm 6\sigma \) | 99,9999998 % | Dos defectos por mil millones |
El ruido térmico de un resistor es el ejemplo perfecto: es la suma del movimiento de un número astronómico de portadores, cada uno aportando poquísimo, y el resultado es una gaussiana casi perfecta. Su valor eficaz es \( \sqrt{4kTRB} \) —la unidad de termodinámica otra vez—, pero su forma viene del teorema central del límite.
Una gaussiana no tiene máximo: por chico que sea, cualquier valor tiene probabilidad no nula. Por eso hablar del «valor de pico» del ruido no tiene sentido sin decir con qué probabilidad. La convención práctica es usar el pico a pico al 99,7 %, que son seis desvíos, o a veces 6,6 sigma para el 99,9 %. Un diseño que suponga que el ruido nunca pasa de tres sigma va a fallar, cada tanto, exactamente el 0,27 % de las veces.
04En el laboratorio
Digitalizar el ruido de un amplificador con la entrada en cortocircuito y armar el histograma de las muestras. Verificar la forma de campana, calcular el desvío y compararlo con el ruido térmico teórico de la resistencia de entrada.
Contar los pulsos de un fotodiodo con luz muy tenue en intervalos fijos, muchas veces. Armar el histograma de cuentas y verificar que la varianza es igual a la media, que es la firma de una distribución de Poisson.
Digitalizar una rampa lenta con un conversor de pocos bits y calcular el error respecto de la rampa ideal. Armar su histograma, verificar que es uniforme y comparar su desvío con el \( q/\sqrt{12} \) teórico.
05Errores frecuentes
- Calcular \( P(X = a) \) en una variable continua. Siempre da cero: hay que preguntar por un intervalo.
- Confundir densidad con probabilidad. La densidad puede valer más de 1; la probabilidad es el área.
- Usar la normal para contar eventos raros. Ahí va Poisson, sobre todo con pocas cuentas.
- Suponer tasa de falla constante siempre. La exponencial vale en la vida útil, no en la mortalidad infantil ni en el desgaste.
- Hablar del valor de pico del ruido. Sin una probabilidad asociada no significa nada.
- Aplicar el teorema central del límite con pocos términos. Necesita muchos, y que ninguno domine.
06Autoevaluación
¿Cuánto vale \( P(X = 5) \) si \( X \) es continua?
Cero. En una variable continua solo tienen probabilidad no nula los intervalos.
¿Qué distribución modela el ruido térmico?
La normal, por el teorema central del límite: es la suma de muchísimas contribuciones chicas e independientes.
¿Cuál es la firma de una distribución de Poisson?
Que la varianza es igual a la media.
¿Qué probabilidad hay de caer dentro de \( \mu \pm 3\sigma \)?
99,73 %. Fuera quedan 27 casos cada diez mil.
¿Cuánto vale el desvío del error de cuantización?
\( q/\sqrt{12} \), con \( q \) el escalón del conversor, porque el error es uniforme en un escalón.
¿Cuándo vale la distribución exponencial para la vida útil?
Mientras la tasa de falla sea constante: la parte plana de la curva de la bañera.
07Para ampliar
- Douglas C. Montgomery y George C. Runger. Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería. 7.ª ed., Wiley, 2018. Los capítulos 3 y 4: variables aleatorias discretas y continuas, con las cinco distribuciones de esta unidad.
- Athanasios Papoulis y S. Unnikrishna Pillai. Probability, Random Variables and Stochastic Processes. 4.ª ed., McGraw-Hill, 2002. La referencia para quien siga hacia procesos estocásticos y ruido en sistemas de comunicación.
- C. D. Motchenbacher y J. A. Connelly. Low-Noise Electronic System Design. Wiley, 1993. El ruido tratado como variable aleatoria, con el paso del desvío al valor pico a pico que usa un diseñador.