Probabilidad
Un ensayo que acierta el 99 % de las veces, aplicado a un lote con 1 % de piezas falladas, da una pieza buena por cada pieza mala entre las que marca como defectuosas. No es un error del ensayo: es Bayes.
01Tres axiomas y nada más
Toda la teoría se levanta sobre tres reglas. Un experimento aleatorio tiene un conjunto de resultados posibles —el espacio muestral \( S \)—, y a cada subconjunto de ese espacio, llamado suceso, se le asigna un número entre 0 y 1:
Se confunden todo el tiempo y son casi opuestos. Dos sucesos excluyentes no pueden ocurrir juntos, así que saber que ocurrió uno te dice con certeza que el otro no: eso es máxima dependencia. Dos sucesos independientes, en cambio, pueden ocurrir juntos, y justamente la probabilidad de que ocurran ambos es el producto de las dos.
02Independencia y confiabilidad
La aplicación más directa en ingeniería es calcular si un sistema funciona a partir de si funcionan sus partes. Con componentes que fallan de manera independiente:
| Configuración | Funciona si | Confiabilidad |
|---|---|---|
| Serie | Funcionan todos | \( R = R_1 R_2 \cdots R_n \) |
| Paralelo | Funciona al menos uno | \( R = 1 - (1-R_1)\cdots(1-R_n) \) |
La primera fila es implacable: cien componentes en serie con 99,9 % de confiabilidad cada uno dan un sistema con 90,5 %. Por eso un equipo con muchas piezas necesita que cada una sea mucho mejor que el conjunto. Y la segunda es el fundamento de la redundancia: dos unidades en paralelo con 95 % cada una dan 99,75 %.
La redundancia funciona mientras las fallas sean independientes, y muchas veces no lo son: dos fuentes redundantes alimentadas por la misma línea caen juntas si se corta esa línea, y dos placas idénticas comparten el mismo defecto de diseño. Eso se llama falla de causa común, y es la razón por la que en sistemas críticos se exige redundancia diversa: no dos veces lo mismo, sino dos soluciones distintas.
03El teorema de Bayes
El teorema permite dar vuelta una probabilidad condicional: pasar de «cuán seguido el ensayo da positivo cuando la pieza está fallada» a lo que uno realmente quiere saber, «cuán seguido la pieza está fallada cuando el ensayo dio positivo».
Un ensayo de control de calidad con su sensibilidad y su especificidad, aplicado a un lote. Movés la proporción de piezas falladas y mirá qué pasa con la confianza en un resultado positivo.
Un ensayo que acierta el 99 % de las veces, aplicado a un lote con 1 % de piezas falladas, produce tantos falsos positivos como positivos verdaderos: de cada dos piezas que marca como malas, una está bien. El ensayo no está mal hecho. Lo que ocurre es que las piezas buenas son noventa y nueve veces más numerosas, así que su 1 % de error aporta tantos casos como el 99 % de acierto sobre un grupo minúsculo. La conclusión práctica es que en poblaciones donde el defecto es raro, todo positivo hay que confirmarlo.
04En el laboratorio
Tirar un dado doscientas veces registrando resultados, y graficar la frecuencia relativa de cada cara contra el número de tiradas. Observar cómo se acerca a 1/6 y estimar cuántas tiradas hacen falta para estar dentro del 1 %.
Calcular la confiabilidad de un equipo con veinte componentes en serie, cada uno con 99,5 %. Agregar redundancia en el componente más débil y recalcular. Discutir cuánto costaría mejorar cada uno en lugar de duplicar uno.
Sobre un lote imaginario de diez mil piezas con 2 % de falladas y un ensayo de 95 % de sensibilidad y 90 % de especificidad, armar la tabla de los cuatro casos posibles y calcular el valor predictivo positivo contando piezas, sin usar la fórmula.
05Errores frecuentes
- Confundir \( P(A\mid B) \) con \( P(B\mid A) \). Es el error que hace Bayes necesario.
- Tomar independiente por excluyente. Son casi opuestos.
- Multiplicar probabilidades de sucesos dependientes. El producto vale solo si son independientes.
- Ignorar la proporción de base. Sin saber cuán frecuente es el defecto, un positivo no significa nada.
- Suponer que la redundancia siempre multiplica la confiabilidad. No, si hay falla de causa común.
- Creer que después de muchas caras «toca» ceca. La moneda no tiene memoria.
06Autoevaluación
¿Cuándo son independientes dos sucesos?
Cuando \( P(A\cap B) = P(A)P(B) \): saber que ocurrió uno no cambia la probabilidad del otro.
¿Cuál es la confiabilidad de cien componentes en serie al 99,9 %?
\( 0{,}999^{100} = 90{,}5\ \% \). En serie, la confiabilidad del conjunto es siempre peor que la de la peor parte.
¿Para qué sirve el teorema de Bayes?
Para invertir una condicional: pasar de la probabilidad del resultado dado el estado, a la del estado dado el resultado.
¿Por qué un ensayo del 99 % da tantos falsos positivos?
Porque si las piezas buenas son noventa y nueve veces más numerosas, su 1 % de error aporta tantos casos como el 99 % de acierto sobre las pocas falladas.
¿Qué es una falla de causa común?
Una que tumba a la vez a las unidades redundantes, como una alimentación compartida o un defecto de diseño repetido.
¿Qué confiabilidad dan dos unidades al 95 % en paralelo?
99,75 %: falla el sistema solo si fallan las dos, y \( 0{,}05^2 = 0{,}0025 \).
07Para ampliar
- Douglas C. Montgomery y George C. Runger. Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería. 7.ª ed., Wiley, 2018. El capítulo 2 completo: axiomas, condicional, independencia y Bayes con problemas de ingeniería.
- Sheldon Ross. Introducción a la probabilidad y estadística para ingenieros. 5.ª ed., Elsevier, 2018. Un tratamiento más formal, con buenos ejercicios de probabilidad total y sucesos compuestos.
- Patrick D. T. O'Connor y Andre Kleyner. Practical Reliability Engineering. 5.ª ed., Wiley, 2012. Confiabilidad de sistemas, redundancia y fallas de causa común aplicados a equipos reales.