Inferencia y estimación
«95 % de confianza» no significa que haya 95 % de probabilidad de que el valor esté en ese intervalo. El 95 % es una propiedad del procedimiento, no del intervalo que quedó, y esa distinción no se entiende leyéndola: hay que verla fallar.
01De la muestra a la población
Nunca se mide todo. Se mide una muestra y se quiere decir algo sobre la población entera: el lote completo, todas las piezas que el proceso va a producir, el valor verdadero de la resistencia. Ese salto es la inferencia, y tiene reglas.
| Población | Muestra | |
|---|---|---|
| Qué es | Todo el conjunto de interés | Los datos que efectivamente se tienen |
| Media | \( \mu \), desconocida | \( \bar{x} \), calculable |
| Desvío | \( \sigma \), desconocido | \( s \), calculable |
| Se llama | Parámetro | Estimador |
Un estimador es una variable aleatoria: si se toma otra muestra, da otro número. Que sea insesgado significa que en promedio da el parámetro verdadero, y que sea consistente, que se acerca a él al crecer la muestra. La media muestral cumple las dos cosas.
02El intervalo de confianza
Dar un solo número como estimación es esconder la incertidumbre. Un intervalo de confianza informa un rango construido con un procedimiento que, repetido muchas veces, atrapa al parámetro verdadero una proporción conocida de las veces.
No significa que haya un 95 % de probabilidad de que \( \mu \) esté en ese intervalo. Una vez calculado, el intervalo o contiene a \( \mu \) o no lo contiene: no hay azar en eso, lo que falta es información. Lo que el 95 % describe es el procedimiento: si se repitiera el muestreo muchas veces, el 95 % de los intervalos construidos así contendrían el valor verdadero. El laboratorio de abajo está hecho para que eso se vea, porque leerlo no alcanza.
Cuarenta muestras tomadas de la misma población, con su intervalo cada una. La línea vertical es el valor verdadero, que en la realidad nadie conoce. Contá cuántos intervalos no lo alcanzan.
03Cuántas mediciones hacen falta
Dada una precisión objetivo, el tamaño de muestra sale de despejar el semiancho del intervalo:
| Si se quiere | Hace falta |
|---|---|
| La mitad de error | Cuatro veces más mediciones |
| Un décimo de error | Cien veces más mediciones |
| Pasar de 95 % a 99 % de confianza | Un 73 % más de mediciones, a igual error |
La tercera fila muestra el otro canje. A igual cantidad de datos, más confianza significa un intervalo más ancho: se puede estar más seguro, o se puede ser más preciso, pero no las dos cosas sin medir más. Un intervalo del 100 % de confianza sería «entre menos infinito y más infinito», perfectamente cierto y perfectamente inútil.
El \( \sqrt{n} \) reduce el componente aleatorio de la incertidumbre, no el sistemático. Si el instrumento está descalibrado y lee siempre 2 mV de más, medir un millón de veces da un promedio con una incertidumbre estadística minúscula, centrado 2 mV al costado del valor verdadero. Esa es la diferencia entre precisión y exactitud, y la razón de que exista la calibración.
04En el laboratorio
Medir veinte veces una misma tensión. Calcular la media, el desvío y el intervalo de confianza del 95 % usando la t de Student. Repetir con las primeras cinco mediciones y comparar los anchos de los dos intervalos.
Dividir doscientas mediciones en veinte grupos de diez y construir el intervalo del 90 % de cada grupo. Contar cuántos contienen la media de las doscientas y comparar con los dos que la teoría predice que fallarán.
Con el desvío estimado en la actividad 1, calcular cuántas mediciones harían falta para conocer la tensión con un error de 0,1 mV al 95 %. Evaluar si el número es practicable y qué convendría hacer si no lo es.
05Errores frecuentes
- Decir que hay 95 % de probabilidad de que \( \mu \) esté en el intervalo. El 95 % es del procedimiento, no de ese intervalo.
- Usar \( z \) con muestras chicas. Con \( \sigma \) estimado y pocos datos va t.
- Confundir \( s \) con el error estándar. El segundo es \( s/\sqrt{n} \) y es mucho menor.
- Creer que promediar corrige un error sistemático. Solo reduce el aleatorio.
- Pedir más confianza esperando más precisión. Van en sentidos opuestos.
- Olvidar el cuadrado en el tamaño de muestra. Mejorar diez veces cuesta cien veces más.
06Autoevaluación
¿Qué significa un intervalo del 95 %?
Que el procedimiento, repetido muchas veces, produce intervalos que contienen al parámetro el 95 % de las veces.
¿Cuánto vale el error estándar de la media?
\( \sigma/\sqrt{n} \), o \( s/\sqrt{n} \) si el desvío se estimó de la muestra.
¿Cuándo se usa la t en lugar de la z?
Cuando \( \sigma \) es desconocido y se lo estima con \( s \). Con \( n \) grande las dos coinciden.
¿Cuántas mediciones hacen falta para dividir el error por dos?
Cuatro veces más: el tamaño va con el cuadrado.
¿Qué pasa con el ancho al subir la confianza?
Crece. Más confianza con los mismos datos se paga con menos precisión.
¿Promediar corrige una descalibración?
No. Reduce el error aleatorio y deja intacto el sistemático. Para eso está la calibración.
07Para ampliar
- Douglas C. Montgomery y George C. Runger. Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería. 7.ª ed., Wiley, 2018. Los capítulos 7 y 8: distribuciones muestrales, estimación puntual e intervalos de confianza.
- Sheldon Ross. Introducción a la probabilidad y estadística para ingenieros. 5.ª ed., Elsevier, 2018. La distribución muestral tratada con cuidado, incluido de dónde sale la t de Student.
- JCGM. Evaluación de datos de medición: guía para la expresión de la incertidumbre de medida. JCGM 100:2008. Cómo se combinan las incertidumbres de tipo A y B, y cómo se informa la incertidumbre expandida con su factor de cobertura.