La envolvente compleja
Una señal de radio de 100 MHz se puede simular entera con dos números que cambian unas miles de veces por segundo. La portadora no lleva información: solo la traslada.
01Una señal de radio es una portadora con dos datos
Casi todas las señales de comunicaciones son pasabanda: ocupan una banda angosta alrededor de una portadora de frecuencia \( f_c \) mucho mayor que su ancho de banda. Una radio de FM ocupa 200 kHz alrededor de 100 MHz; un canal de Wi-Fi, 20 MHz alrededor de 2,4 GHz. Cualquier señal así se puede escribir como una portadora cuya amplitud y fase cambian lentamente:
02La envolvente compleja
Las dos componentes se juntan en un solo número complejo que varía en el tiempo, la envolvente compleja:
La consecuencia práctica es enorme: todo lo que pasa con una señal de radio —modulación, filtrado, ruido, demodulación— se puede analizar y simular con su envolvente compleja, a frecuencias bajas, sin tratar con la portadora. Así trabajan los simuladores y los receptores definidos por software.
03Cada modulación es una envolvente
| Modulación | Envolvente compleja \( g(t) \) | En el plano I/Q |
|---|---|---|
| AM | \( A_c\,[1 + m(t)] \) | Se mueve sobre el eje real |
| DSB-SC | \( A_c\, m(t) \) | Sobre el eje real, cruzando el origen |
| SSB | \( A_c\,[m(t) + j\,\hat m(t)] \) | Gira en un solo sentido |
| PM | \( A_c\, e^{j k_p m(t)} \) | Sobre una circunferencia |
| FM | \( A_c\, e^{j k_f \int m\, dt} \) | Sobre una circunferencia |
| QAM y PSK | \( \sum_k (a_k + j b_k)\, p(t - kT) \) | Salta entre puntos de una constelación |
\( \hat m(t) \) es la transformada de Hilbert del mensaje. Las modulaciones de ángulo tienen envolvente constante: \( |g| \) no cambia, y la información está toda en la fase.
A la izquierda, la trayectoria de \( g(t) \) en el plano I/Q; a la derecha, unos ciclos de la señal pasabanda \( x(t) \) con su envolvente. El mensaje es una senoidal (o símbolos al azar, en QPSK).
04El receptor I/Q
Para recuperar la envolvente compleja, el receptor multiplica la señal por \( \cos 2\pi f_c t \) y por \( -\sin 2\pi f_c t \) y filtra los dos productos con pasabajos: obtiene \( x_I/2 \) y \( x_Q/2 \). Es el demodulador en cuadratura, y con dos conversores detrás, es la entrada de todo receptor digital moderno: una vez que \( g(t) \) está en muestras, la demodulación de cualquier modulación es software. Los conversores de esa entrada son los de conversores AD y DA.
05Envolvente y amplificadores
La relación entre la potencia pico y la promedio (PAPR) de la envolvente decide qué amplificador hace falta. Con envolvente constante, como FM, sirve un amplificador saturado de clase C, que rinde 70 % o más. Con envolvente variable, como AM o QAM, hace falta un amplificador lineal trabajando por debajo de su máximo: si no, recorta los picos, distorsiona y ensancha el espectro. Un canal de 4G, con cientos de subportadoras, tiene un PAPR de 10 dB o más, y su amplificador es uno de los grandes consumidores de energía de una radiobase.
06En el laboratorio
Con un receptor SDR de bajo costo, capturar muestras I/Q de una radio de FM y graficar su trayectoria en el plano complejo.
Armar con dos mezcladores y un desfasador de 90° un demodulador I/Q para una señal AM de 455 kHz y ver las dos salidas en el osciloscopio en modo X-Y.
Medir con un osciloscopio la potencia pico y la promedio de una señal AM al 100 % y compararlas con 4,26 dB.
07Errores frecuentes
- Olvidar que la envolvente es compleja. Una sola componente pierde la fase.
- Confundir la envolvente real con la compleja. La real es el módulo \( |g| \).
- Usar un amplificador saturado con una modulación de envolvente variable. Distorsiona y ensucia los canales vecinos.
- Olvidar el desbalance entre I y Q. Un error de ganancia o de fase entre las dos ramas crea una imagen del espectro.
08Autoevaluación
¿Cuál es la envolvente compleja de \( x(t) = 3\cos(2\pi f_c t + \pi/4) \)?
\( g = 3e^{j\pi/4} \), constante.
¿Qué PAPR tiene una señal AM con índice 1 y mensaje senoidal?
\( 4/1{,}5 \): 4,26 dB.
¿Por qué FM se puede amplificar con un amplificador saturado?
Porque su envolvente es constante: la información está en la fase, que la saturación no altera.
¿Qué dos multiplicaciones hace un demodulador en cuadratura?
Por \( \cos 2\pi f_c t \) y por \( -\sin 2\pi f_c t \), seguidas de filtros pasabajos.
09Para ampliar
- Leon W. Couch. Digital and Analog Communication Systems. 8.ª ed., Pearson, 2013. Usa la envolvente compleja como herramienta central para todas las modulaciones.
- Richard G. Lyons. Understanding Digital Signal Processing. 3.ª ed., Prentice Hall, 2010. La señal en cuadratura explicada de manera intuitiva, con el receptor I/Q.
- Simon Haykin y Michael Moher. Communication Systems. 5.ª ed., Wiley, 2009. La representación de señales pasabanda y su espectro.