Sistemas de Comunicaciones · 96 h · Contenido 5 de 11

Modulación exponencial: FM y PM

Una emisora de FM comercial ocupa unos 180 kHz para transmitir audio de 15 kHz. Ese ancho de banda doce veces mayor es el precio de su calidad.

Índice de modulación Funciones de Bessel Regla de Carson Banda angosta PLL

01Modular el ángulo

En las modulaciones exponenciales o de ángulo, el mensaje cambia la fase o la frecuencia de la portadora y la amplitud queda constante. En la modulación de fase (PM), la fase sigue al mensaje; en la de frecuencia (FM), la frecuencia instantánea:

\[ x_{PM}(t) = A_c \cos\big(2\pi f_c t + k_p\, m(t)\big) \] \[ x_{FM}(t) = A_c \cos\Big(2\pi f_c t + 2\pi k_f \int_0^t m(\tau)\, d\tau\Big) \] En FM la frecuencia instantánea es \( f_c + k_f m(t) \), y su máximo apartamiento es la desviación de frecuencia \( \Delta f \). PM y FM son la misma familia: FM es PM del mensaje integrado.

Como la envolvente es constante (se vio en envolvente compleja), los transmisores de FM usan amplificadores saturados, y los receptores recortan la amplitud antes de demodular, eliminando buena parte del ruido y las interferencias que afectan la amplitud.

02El espectro de FM y las funciones de Bessel

A diferencia de AM, la FM no es lineal: su espectro no es el del mensaje trasladado. Con un tono de frecuencia \( f_m \), el índice de modulación es \( \beta = \Delta f / f_m \), y la señal tiene infinitas líneas separadas \( f_m \) alrededor de la portadora, con amplitudes dadas por las funciones de Bessel:

\[ x(t) = A_c \sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n(\beta)\cos\big(2\pi (f_c + n f_m) t\big) \] La potencia total no cambia con la modulación: \( \sum J_n^2(\beta) = 1 \). La modulación solo la reparte entre la portadora y las bandas laterales; con β = 2,405 la portadora desaparece.

Las líneas se vuelven despreciables poco después de \( n = \beta + 1 \), y de ahí sale la regla de Carson para el ancho de banda, que contiene alrededor del 98 % de la potencia:

\[ B \approx 2(\Delta f + W) = 2(\beta + 1)\, W \] \( W \) es la frecuencia máxima del mensaje. Una emisora de FM comercial, con Δf = 75 kHz y audio hasta 15 kHz (β = 5), ocupa unos 180 kHz: por eso los canales están separados 200 kHz.

Laboratorio · el espectro de FM

Una portadora modulada en frecuencia por un tono de 15 kHz. Las líneas son las amplitudes \( |J_n(\beta)| \) de la portadora y las bandas laterales; la franja amarilla, el ancho de banda de Carson; la gris, el que contiene el 98 % de la potencia.

Índice de modulación β =

03Banda angosta y banda ancha

Con β mucho menor que 1 (FM de banda angosta), solo la portadora y el primer par de líneas son apreciables, y el ancho de banda es \( 2W \), como en AM: se usa en radios de dos vías, donde el espectro es escaso. Con β grande (banda ancha), el ancho de banda crece casi en proporción a la desviación. A cambio, como se ve en la unidad de ruido en modulaciones analógicas, la relación señal a ruido a la salida mejora con el cuadrado de β: la FM de banda ancha cambia ancho de banda por calidad.

04Generación y demodulación

Función	Métodos
Generación directa	Un oscilador controlado por tensión (VCO), estabilizado con un PLL
Generación indirecta (Armstrong)	PM de banda angosta del mensaje integrado, y multiplicación de frecuencia
Demodulación por pendiente	Un circuito resonante convierte frecuencia en amplitud, seguido de un detector de envolvente
Discriminador de cuadratura	Compara la señal con una copia desfasada una cantidad que depende de la frecuencia
PLL	La tensión de control del VCO enganchado sigue la frecuencia de la señal: es el mensaje

05En el laboratorio

Actividad 1 · Anular la portadora

Modular en FM un generador con un tono de 1 kHz y aumentar la desviación hasta que la portadora desaparece en el analizador de espectro. Verificar que ocurre con Δf = 2,405 kHz: es el método clásico para calibrar la desviación.

Actividad 2 · Carson

Medir el ancho de banda que contiene el 98 % de la potencia para varios índices y compararlo con la regla de Carson.

Actividad 3 · Demodular con un PLL

Demodular una señal FM con un PLL integrado y observar la tensión de control del VCO.

06Errores frecuentes

Calcular el ancho de banda de FM como 2Δf. Falta el término del mensaje: es 2(Δf + W).
Creer que la modulación agrega potencia. En FM la potencia total es constante.
Confundir desviación de frecuencia con índice. El índice es la desviación dividida por la frecuencia del mensaje.
Olvidar la preénfasis. Las emisoras de FM refuerzan los agudos antes de transmitir y el receptor los atenúa, para reducir el ruido.

07Autoevaluación

¿Qué índice de modulación tiene una FM con Δf = 5 kHz y un tono de 1 kHz?

β = 5.

¿Qué ancho de banda de Carson ocupa una radio de dos vías con Δf = 2,5 kHz y audio hasta 3 kHz?

\( 2(2{,}5 + 3) = 11 \) kHz.

¿Con qué índice desaparece la portadora?

Con β = 2,405, el primer cero de \( J_0 \).

¿Qué fracción de la potencia queda en la portadora con β = 1?

\( J_0^2(1) = 0{,}765^2 \approx 0{,}59 \): el 59 %.

08Para ampliar

B. P. Lathi y Zhi Ding. Modern Digital and Analog Communication Systems. 5.ª ed., Oxford University Press, 2019. Las modulaciones de ángulo, las funciones de Bessel y la regla de Carson.
Simon Haykin y Michael Moher. Communication Systems. 5.ª ed., Wiley, 2009. La FM con sus demoduladores y el PLL.
Wayne Tomasi. Sistemas de comunicaciones electrónicas. 4.ª ed., Pearson, 2003. Los transmisores y receptores de FM desde los circuitos.

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