Líneas de transmisión
Un tramo de cable de un cuarto de onda convierte 100 Ω en 25 Ω sin un solo componente. A esas frecuencias, el largo del cable es parte del circuito.
01Cuándo un cable deja de ser un cable
En la teoría de circuitos, un cable es un nodo: la tensión es la misma en sus dos extremos en el mismo instante. Eso vale mientras la señal tarde en recorrerlo mucho menos que lo que tarda en cambiar. Cuando el largo del cable se acerca a una fracción apreciable de la longitud de onda —la regla práctica es un décimo— o cuando el tiempo de subida de un pulso es comparable con el tiempo de viaje, el cable pasa a ser una línea de transmisión: la señal viaja por él como una onda, y lo que pasa en un extremo depende de lo que haya en el otro. La página de modelos concentrados de Teoría de los Circuitos I marcó ese límite.
02El modelo distribuido
Un tramo corto de línea se modela con cuatro parámetros por unidad de longitud: la resistencia \( R \) y la inductancia \( L \) de los conductores, y la conductancia \( G \) y la capacidad \( C \) entre ellos. De ahí salen las ecuaciones del telegrafista, que son las de una onda que viaja en los dos sentidos, con dos parámetros que caracterizan la línea:
| Línea | \( Z_0 \) | Velocidad |
|---|---|---|
| Coaxial RG-58 (polietileno) | 50 Ω | 0,66 c |
| Coaxial RG-6 (televisión) | 75 Ω | 0,82 c (espuma) |
| Par trenzado de datos | 100 Ω | Alrededor de 0,65 c |
| Microtira de 1,9 mm sobre FR-4 de 1 mm | Unos 50 Ω | Alrededor de 0,55 c |
En un coaxial, \( Z_0 = \dfrac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln \dfrac{b}{a} \), con \( a \) el radio del conductor interior y \( b \) el de la malla: la impedancia depende de la geometría y del dieléctrico, no del largo.
03Reflexión y ondas estacionarias
Si la línea termina en una carga \( Z_L \) distinta de \( Z_0 \), parte de la onda se refleja, igual que la onda plana en la frontera entre dos medios:
La onda incidente y la reflejada se suman con fases que dependen de la posición, y la tensión a lo largo de la línea tiene máximos y mínimos fijos separados media longitud de onda. Por lo mismo, la impedancia que se ve desde la entrada depende del largo:
Resolver esta expresión a mano es tedioso, y por eso existe la carta de Smith, que la convierte en un giro sobre un gráfico.
Una línea sin pérdidas de impedancia \( Z_0 \) termina en una carga \( R_L + jX_L \). El gráfico muestra el valor pico de la tensión a lo largo de la línea, desde la carga (a la derecha) hacia el generador, para una onda incidente de amplitud 1. El punto marca la posición donde se calcula la impedancia de entrada.
04Pulsos y reflectometría
En el dominio del tiempo, un escalón que entra en la línea viaja hasta la carga y vuelve reflejado con amplitud \( \Gamma_L \) veces la incidente, después de un tiempo igual al doble del retardo del tramo. Si la fuente tampoco está adaptada, la reflexión rebota de nuevo, y la tensión se acomoda en una escalera de ecos. La reflectometría en el dominio del tiempo (TDR) usa ese principio para localizar fallas: el tiempo del eco da la distancia y su forma, el tipo de falla. Así se encuentra un corte en un cable enterrado o una discontinuidad en una pista de una placa.
05Dónde aparece en la electrónica
| Caso | Lo que importa de la línea |
|---|---|
| Bus de alta velocidad en una placa | Pistas de impedancia controlada y terminaciones para evitar reflexiones |
| Cable de antena de un transmisor | ROE baja para que la potencia llegue a la antena |
| Adaptador entre 50 y 75 Ω | Un tramo de cuarto de onda de impedancia intermedia |
| Red Ethernet | Pares trenzados de 100 Ω con terminación en cada extremo |
| Localización de fallas en cables | Reflectometría en el dominio del tiempo |
06En el laboratorio
Con un generador de pulsos rápidos, 20 m de RG-58 y un osciloscopio en la entrada, observar el eco con el extremo abierto, en cortocircuito y con 50 Ω. Medir el retardo y calcular la velocidad de propagación.
Con un analizador de redes, medir la impedancia de entrada de un tramo de coaxial terminado en 100 Ω y encontrar la frecuencia en que vale 25 Ω. Relacionarla con el largo del tramo.
Medir la ROE de una antena de radioaficionado con un medidor de ROE a lo largo de su banda y ubicar la frecuencia de mejor adaptación.
07Errores frecuentes
- Tratar como nodo un cable largo frente a la longitud de onda. La tensión cambia a lo largo del cable.
- Creer que \( Z_0 \) depende del largo. Depende solo de la sección y del dieléctrico.
- Medir con una punta de 1 MΩ al final de una línea de 50 Ω sin terminarla. El pulso se refleja y la forma de onda miente.
- Olvidar la velocidad del dieléctrico al calcular un cuarto de onda. En RG-58, el largo físico es el 66 % del eléctrico.
08Autoevaluación
¿Qué ROE produce una carga de 25 Ω en una línea de 50 Ω?
\( \Gamma = -1/3 \), ROE = 2.
¿Qué impedancia se ve a un cuarto de onda de una carga de 100 Ω en una línea de 50 Ω?
\( 50^2 / 100 = 25 \) Ω.
¿Cuánto mide un cuarto de onda de RG-58 a 100 MHz?
\( 0{,}66 \times 3\text{ m} / 4 \approx 0{,}50 \) m.
¿Qué se ve en un TDR si el cable está cortado?
Un eco de la misma polaridad que el pulso (circuito abierto, \( \Gamma = +1 \)) al tiempo que corresponde a la distancia del corte.
09Para ampliar
- David M. Pozar. Microwave Engineering. 4.ª ed., Wiley, 2011. El capítulo de teoría de líneas de transmisión es la referencia, con la carta de Smith y la adaptación.
- Howard Johnson y Martin Graham. High-Speed Digital Design: A Handbook of Black Magic. Prentice Hall, 1993. Las líneas vistas desde el diseño digital: reflexiones, terminaciones y diafonía.
- Fawwaz T. Ulaby y Umberto Ravaioli. Fundamentals of Applied Electromagnetics. 7.ª ed., Pearson, 2015. Líneas en régimen senoidal y transitorio, con muchas figuras.