Constantes concentradas e invariantes
Todo circuito es, en el fondo, un problema de ondas electromagnéticas. El modelo de constantes concentradas es la aproximación que permite ignorar eso, y saber cuándo deja de valer es tan importante como saber usarla.
01Todo circuito es, en el fondo, un problema de ondas
Las ecuaciones de Maxwell no distinguen entre un cable y una antena: cualquier conductor con corriente variable irradia y propaga campos a la velocidad de la luz. Resolver un circuito de esa manera —campo por campo, punto por punto del espacio— es exacto pero, para la inmensa mayoría de los circuitos que se diseñan, un desperdicio de trabajo. La teoría de los circuitos completa que empieza en esta materia es una aproximación deliberada: uno de los grandes atajos de la ingeniería eléctrica, y conviene saber exactamente qué se está aproximando.
La aproximación se llama modelo de constantes concentradas (lumped elements): en vez de campos que varían con la posición y el tiempo, se supone que la corriente es la misma en todo un conductor en cada instante y que toda una resistencia, un capacitor o un inductor se puede tratar como un solo punto con una única relación entre tensión y corriente. Esa suposición es falsa, en sentido estricto, para cualquier componente real. Es una aproximación excelente cuando el circuito es mucho más chico que la longitud de onda de las señales que maneja.
02La condición de constantes concentradas: la regla de λ/10
El criterio práctico que usa toda la ingeniería: un circuito se puede tratar como constantes concentradas si su dimensión física más grande es menor que un décimo de la longitud de onda de la señal que lo recorre. Más allá de eso, el retardo de propagación dentro del propio circuito deja de ser despreciable y hace falta la teoría de líneas de transmisión —parte de las materias que siguen a esta.
| Señal | Frecuencia | \( \lambda \) | \( \lambda/10 \) | ¿Un circuito de escritorio es concentrado? |
|---|---|---|---|---|
| Red eléctrica domiciliaria | 50 Hz | 6.000 km | 600 km | Sin ninguna duda |
| Audio | 20 kHz | 15 km | 1,5 km | Sin ninguna duda |
| Radio AM | 1 MHz | 300 m | 30 m | Sí, sin cuidados especiales |
| FM / VHF | 100 MHz | 3 m | 30 cm | Sí, pero ya conviene cuidar el trazado de las pistas |
| Wi-Fi 2,4 GHz | 2,4 GHz | 12,5 cm | 1,25 cm | No siempre: una pista de varios centímetros ya es una línea de transmisión |
| Radar de 60 GHz (automotor, 5G mmWave) | 60 GHz | 5 mm | 0,5 mm | No: cualquier pista de más de medio milímetro necesita diseño de línea de transmisión |
La misma placa física, con el mismo trazado, puede ser «un circuito» a 1 MHz y «una antena accidental» a 2,4 GHz. El modelo no cambia porque el diseñador lo decida: cambia porque la relación entre el tamaño físico y la longitud de onda cambió.
03Qué significa que un circuito sea invariante en el tiempo
Un sistema es invariante en el tiempo si su comportamiento no depende de cuándo se lo excita: aplicar la misma entrada hoy o mañana da exactamente la misma salida, solo que corrida en el tiempo. Formalmente, si una entrada \( x(t) \) produce una salida \( y(t) \), un sistema invariante responde a \( x(t-t_0) \) con \( y(t-t_0) \), para cualquier corrimiento \( t_0 \).
| Circuito | ¿Invariante? | Por qué |
|---|---|---|
| Un filtro RC con componentes fijos | Sí | Los valores de \( R \) y \( C \) no cambian con el tiempo |
| Un potenciómetro que alguien está girando | No | El valor de la resistencia depende de en qué instante se lo mira |
| Un mezclador con un reloj de muestreo | No | Multiplica la señal por algo que varía periódicamente en el tiempo, a propósito |
| Un amplificador que se calienta y deriva | Aproximadamente sí, a corto plazo | La deriva térmica es un cambio de parámetros lento frente a la señal que amplifica |
Casi toda esta materia —y la de Teoría de los Circuitos II que sigue— asume circuitos lineales e invariantes en el tiempo (LTI), porque es la clase de sistemas donde la respuesta en frecuencia, la transformada de Laplace y la resolución sistemática funcionan sin salvedades. Un circuito que cambia sus parámetros a propósito —como el mezclador— es una herramienta valiosísima, pero pertenece a un análisis distinto.
04Cuando el modelo ideal se rompe: la resonancia propia
Un capacitor ideal es un elemento concentrado por definición: su impedancia es \( 1/j\omega C \), cae con la frecuencia sin límite. Un capacitor real no. Sus terminales y su construcción interna agregan una inductancia serie parásita, \( L_{ESL} \), y una resistencia serie parásita, \( R_{ESR} \). El resultado es un circuito RLC serie, no un capacitor puro, con una frecuencia de resonancia propia a partir de la cual el capacitor empieza a comportarse, eléctricamente, como un inductor.
Elegís la capacidad y el tipo de encapsulado —cada uno con su inductancia parásita típica— y el gráfico muestra la impedancia real contra la ideal, en escala logarítmica.
05Dónde aparece en la electrónica
Esta es la razón real, no una anécdota, de que las placas de una computadora o un microcontrolador lleven varios capacitores de desacople en paralelo con distintos valores —típicamente 10 µF, 100 nF y a veces 1 nF junto al mismo chip—: cada valor tiene su propia \( f_0 \), y entre los tres cubren un rango de frecuencias mucho más amplio que cualquiera solo. El de mayor capacidad filtra el ruido de baja frecuencia; el más chico, con menor \( L_{ESL} \) relativo, sigue siendo capacitivo a las frecuencias más altas donde el otro ya dejó de servir.
La regla de λ/10 de la sección 2 y la resonancia propia de esta sección son la misma idea aplicada a dos escalas distintas. Una dice cuándo todo el circuito deja de ser «un punto» frente a la señal; la otra, cuándo un solo componente deja de comportarse como el elemento ideal que su símbolo dice que es. Las dos son la misma pregunta: ¿la aproximación de constantes concentradas sigue siendo válida acá?
06En el laboratorio
Calcular la longitud de onda de una señal de 433 MHz (la banda de los controles remotos) y determinar si una placa de 8 cm de lado se puede tratar como constantes concentradas a esa frecuencia.
Con el laboratorio de esta página, para un microcontrolador que conmuta a 48 MHz, determinar qué combinación de capacidad y encapsulado mantiene el capacitor en su región capacitiva a esa frecuencia y a su tercer armónico.
Explicar por qué un circuito con un relé que se abre y se cierra durante el análisis no se puede tratar como invariante en el tiempo, y qué herramientas de esta materia dejan de aplicar mientras el relé conmuta.
07Errores frecuentes
- Pensar que un circuito «es» o «no es» de constantes concentradas por su tamaño físico solo. Depende de la relación entre el tamaño y la longitud de onda de la señal, no del tamaño aislado.
- Suponer que un capacitor conduce cada vez mejor a mayor frecuencia, sin límite. Solo hasta su resonancia propia; por encima, se comporta como un inductor.
- Elegir el capacitor de desacople únicamente por su capacidad, ignorando el encapsulado. El encapsulado decide la inductancia parásita, que decide hasta qué frecuencia sigue siendo útil.
- Confundir invariancia en el tiempo con que el circuito «no cambie nunca». Es que sus parámetros no cambien durante el intervalo de interés, ni en función de la señal que se está analizando.
- Aplicar herramientas de circuitos LTI —fasores, Laplace— a un circuito con un elemento que varía en el tiempo a propósito. Un mezclador o un circuito con reloj de muestreo necesita otro tratamiento.
08Autoevaluación
¿Qué aproxima el modelo de constantes concentradas?
Ignora la propagación de campos electromagnéticos dentro del propio circuito, tratando la corriente como uniforme en todo un conductor en cada instante.
¿Cuál es la regla práctica para saber si un circuito es concentrado?
Que su dimensión física más grande sea mucho menor que un décimo de la longitud de onda de la señal que lo recorre.
¿Qué significa que un sistema sea invariante en el tiempo?
Que su respuesta a una entrada no depende de cuándo se aplica esa entrada: la misma entrada, corrida en el tiempo, da la misma salida corrida igual.
¿Por qué un capacitor real deja de comportarse como capacitor a alta frecuencia?
Porque su inductancia parásita serie domina por encima de su frecuencia de resonancia propia, y ahí la impedancia empieza a crecer con la frecuencia en vez de caer.
¿Qué determina la frecuencia de resonancia propia de un capacitor real?
Su capacidad \( C \) y su inductancia parásita serie \( L_{ESL} \), según \( f_0 = 1/(2\pi\sqrt{L_{ESL}C}) \).
¿Por qué una placa suele llevar varios capacitores de desacople de distinto valor?
Porque cada valor tiene su propia frecuencia de resonancia propia, y combinarlos cubre un rango de frecuencias más amplio que cualquiera solo.
09Para ampliar
- Charles K. Alexander y Matthew N. O. Sadiku. Fundamentals of Electric Circuits. 7.ª ed., McGraw-Hill, 2021. El libro de referencia de toda esta materia: el capítulo introductorio desarrolla el modelo de constantes concentradas con el mismo enfoque de esta página.
- David M. Pozar. Microwave Engineering. 4.ª ed., Wiley, 2011. El tratamiento formal de cuándo la teoría de circuitos deja de alcanzar y hace falta la teoría de líneas de transmisión, del otro lado de la regla de λ/10.
- Henry W. Ott. Electromagnetic Compatibility Engineering. Wiley, 2009. El capítulo sobre desacople de alimentación explica en detalle, con datos de fabricante, por qué se combinan capacitores de distinto valor y encapsulado.