Ecuaciones de onda y ondas planas
El agua de mar refleja casi toda la onda de una radio de onda larga y se traga en pocos metros lo que entra. Por eso a un submarino sumergido solo le llegan frecuencias muy bajas.
01De Maxwell a la ecuación de onda
Combinando las dos ecuaciones del rotor de la unidad anterior en una región sin fuentes, el campo eléctrico queda gobernado por una sola ecuación, la ecuación de Helmholtz:
La solución más simple es la onda plana: un campo uniforme en cada plano perpendicular a la dirección de propagación, que avanza como \( e^{-\gamma z} = e^{-\alpha z} e^{-j\beta z} \). Es el modelo de la onda de una antena lejana: a muchas longitudes de onda de la fuente, cualquier onda esférica se ve localmente plana.
02La onda en un medio sin pérdidas
Con \( \sigma = 0 \), la onda no se atenúa y sus parámetros salen directamente de \( \mu \) y \( \varepsilon \):
E y H son perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación, y están en fase. La densidad de potencia es \( |E|^2 / 2\eta \): con 1 V/m de amplitud en el aire, 1,33 mW por metro cuadrado. La dirección en que oscila el campo eléctrico es la polarización de la onda.
03La onda en un medio con pérdidas
Con conductividad, \( \gamma \) y \( \eta \) se vuelven complejas. Los dos casos límite son los útiles:
| Dieléctrico de pocas pérdidas, \( \sigma \ll \omega\varepsilon \) | Buen conductor, \( \sigma \gg \omega\varepsilon \) | |
|---|---|---|
| Atenuación | \( \alpha \approx \dfrac{\sigma}{2}\sqrt{\mu/\varepsilon} \) | \( \alpha \approx \beta \approx 1/\delta \) |
| Impedancia | Casi real, \( \approx \sqrt{\mu/\varepsilon} \) | \( (1 + j)/\sigma\delta \), muy chica, a 45° |
| Longitud de onda | La del dieléctrico sin pérdidas | \( 2\pi\delta \): la onda desaparece en una longitud de onda |
La atenuación se expresa en decibeles multiplicando por 8,686: un neper es 8,686 dB. En el agua de mar a 1 kHz, \( \alpha = 0{,}126 \) Np/m, unos 1,1 dB por metro; a 1 GHz, 673 dB por metro.
04Reflexión en incidencia normal
Cuando una onda llega perpendicularmente a la frontera entre dos medios, parte se refleja y parte se transmite. Las condiciones de borde dan los coeficientes para el campo eléctrico:
La onda incidente y la reflejada se superponen y forman una onda estacionaria: máximos y mínimos fijos separados media longitud de onda. Es exactamente el fenómeno que aparece en las líneas de transmisión mal terminadas, con la impedancia de carga en el papel de \( \eta_2 \).
Una onda plana viaja por el aire e incide perpendicularmente sobre un medio. Se calculan con las expresiones complejas exactas la atenuación, la longitud de onda, la impedancia y la reflexión, y se grafica el campo eléctrico dentro del medio en función de la profundidad.
05Dónde aparece en la electrónica
| Caso | El fenómeno |
|---|---|
| Radomo de una antena | Un espesor de media longitud de onda en el material para que la reflexión se cancele |
| Radar que penetra el suelo | La atenuación del terreno limita la profundidad; se usan frecuencias bajas para ver más hondo |
| Horno de microondas | El agua de los alimentos absorbe a 2,45 GHz y se calienta |
| Recepción de radio dentro de un edificio | Reflexión y atenuación de paredes y vidrios |
| Materiales absorbentes de una cámara anecoica | Una impedancia que crece gradualmente hasta \( \eta_0 \) para no reflejar |
06En el laboratorio
Con un transmisor de 10 GHz apuntado a una placa metálica y un detector que se desplaza entre ellos, ubicar los mínimos de la onda estacionaria y medir la longitud de onda.
Medir la señal de un enlace de 2,4 GHz con recipientes de agua de distinto espesor entre las antenas y estimar la atenuación por centímetro.
Envolver un teléfono en papel de aluminio y verificar que pierde la señal. Probar después con una malla de agujeros grandes y relacionar el resultado con la longitud de onda.
07Errores frecuentes
- Usar \( c/\sqrt{\varepsilon_r} \) en un medio con pérdidas grandes. La velocidad y la longitud de onda cambian con la conductividad.
- Confundir nepers con decibeles. 1 Np = 8,686 dB.
- Olvidar que \( \Gamma \) es para el campo. La potencia reflejada es \( |\Gamma|^2 \).
- Suponer que un buen conductor absorbe la onda. Casi toda se refleja; lo poco que entra se atenúa en pocos \( \delta \).
08Autoevaluación
¿Qué impedancia intrínseca tiene un dieléctrico sin pérdidas de \( \varepsilon_r = 4 \)?
\( 377/2 \approx 188 \) Ω.
¿Qué fracción de la potencia se refleja del aire a un medio de 188 Ω?
\( \Gamma = (188 - 377)/(188 + 377) \approx -0{,}33 \); se refleja el 11 %.
¿Cuántos decibeles son 0,5 Np?
\( 0{,}5 \times 8{,}686 \approx 4{,}3 \) dB.
¿Por qué el radar que penetra el suelo usa frecuencias bajas?
Porque la atenuación del terreno crece con la frecuencia, y a frecuencias bajas la onda llega más hondo.
09Para ampliar
- David K. Cheng. Field and Wave Electromagnetics. 2.ª ed., Addison-Wesley, 1989. Ondas planas en medios con pérdidas y reflexión, con la notación de esta página.
- Fawwaz T. Ulaby y Umberto Ravaioli. Fundamentals of Applied Electromagnetics. 7.ª ed., Pearson, 2015. Muy gráfico, con aplicaciones de ingeniería en cada capítulo.
- Constantine A. Balanis. Advanced Engineering Electromagnetics. 2.ª ed., Wiley, 2012. El tratamiento completo, para profundizar en medios y reflexión oblicua.