Sistemas de Control · 96 h · Contenido 3 de 8

Respuesta transitoria

El sobrepaso de un sistema de segundo orden depende solo del amortiguamiento: 16 % con 0,5 y menos del 5 % con 0,7. Un tercer polo cercano rompe la regla.

Primer orden Amortiguamiento Sobrepaso Tiempo de establecimiento Polos dominantes

01Primer orden: la constante de tiempo

La respuesta al escalón de un sistema de primer orden, \( G(s) = K/(\tau s + 1) \), es una exponencial que llega al 63 % del valor final en una constante de tiempo \( \tau \), al 95 % en \( 3\tau \) y al 98 % en \( 4\tau \). No tiene sobrepaso. Es el modelo del horno y del motor simplificado de las unidades anteriores. La solución de las ecuaciones diferenciales de circuitos se estudió en respuesta transitoria, de Teoría de los Circuitos I; aquí interesa leer en ella las especificaciones de un sistema de control.

02Segundo orden: ζ y ω_n

Muchos lazos cerrados se comportan como un sistema de segundo orden, descripto por el coeficiente de amortiguamiento \( \zeta \) y la frecuencia natural \( \omega_n \):

\[ G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2} \] \[ s_{1,2} = -\zeta\omega_n \pm j\,\omega_n\sqrt{1 - \zeta^2} \] Con \( \zeta < 1 \) los polos son complejos y la respuesta oscila amortiguada; con \( \zeta = 1 \), críticamente amortiguada; con \( \zeta > 1 \), sobreamortiguada, sin sobrepaso y más lenta.

Las especificaciones de la respuesta al escalón se relacionan con los polos en fórmulas cerradas, válidas para \( \zeta < 1 \):

\[ M_p = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}} \] \[ t_p = \frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}} \] \[ t_s \approx \frac{4}{\zeta\omega_n} \] El sobrepaso \( M_p \) depende solo de \( \zeta \): 16 % con 0,5, 4,6 % con 0,7. El tiempo de pico depende de la parte imaginaria de los polos, y el de establecimiento al 2 %, de la parte real. El de establecimiento es una aproximación por la envolvente: el valor exacto salta según dónde cruce la oscilación la banda.

03Polos dominantes

Un sistema real tiene más polos, pero si un par complejo está mucho más cerca del eje imaginario que los demás, sus exponenciales son las más lentas y dominan la respuesta: los demás polos se extinguen enseguida. La regla práctica pide que los otros polos estén al menos cinco veces más a la izquierda. Si están cerca, la respuesta se vuelve más lenta y con menos sobrepaso que la que predicen las fórmulas.

Laboratorio · respuesta al escalón de segundo orden

La respuesta al escalón simulada con Runge-Kutta, opcionalmente con un tercer polo real. Los datos comparan las especificaciones medidas sobre la curva con las de las fórmulas. La franja es la banda del 2 %.

Amortiguamiento ζ =

Frecuencia natural ω_n =

04De las especificaciones a los polos

Las fórmulas se usan al revés para diseñar: un sobrepaso máximo fija un \( \zeta \) mínimo, y un tiempo de establecimiento fija la parte real mínima de los polos. En el plano s, eso define una región: a la izquierda de una vertical y dentro de un ángulo alrededor del eje real negativo. El diseño consiste en llevar los polos del lazo cerrado a esa región, con las herramientas del lugar de las raíces o de la respuesta en frecuencia.

05En el laboratorio

Actividad 1 · Un RLC como segundo orden

Medir la respuesta al escalón de un circuito RLC serie para tres valores de R y calcular ζ y ω_n a partir del sobrepaso y del tiempo de pico.

Actividad 2 · Posición de un motor

Cerrar un lazo de posición proporcional sobre un motor con reducción y medir cómo cambian el sobrepaso y el tiempo de pico con la ganancia.

Actividad 3 · Polo adicional

Agregar un filtro RC a la salida del circuito RLC y observar cómo cambia la respuesta según su constante de tiempo.

06Errores frecuentes

Aplicar las fórmulas de segundo orden a un sistema sin polos dominantes. Pueden fallar mucho.
Creer que más amortiguamiento siempre es mejor. Con ζ > 1 no hay sobrepaso, pero la respuesta es lenta.
Olvidar los ceros. Un cero cerca de los polos aumenta el sobrepaso aunque ζ sea el mismo.
Confundir el tiempo de pico con el de establecimiento. Uno depende de la parte imaginaria de los polos y el otro de la real.

07Autoevaluación

¿Qué ζ corresponde a un sobrepaso del 10 %?

\( \zeta = -\ln 0{,}1/\sqrt{\pi^2 + \ln^2 0{,}1} \approx 0{,}59 \).

Con ζ = 0,5 y ω_n = 4 rad/s, ¿cuánto valen t_p y t_s?

\( t_p = \pi/(4 \cdot 0{,}866) \approx 0{,}91 \) s; \( t_s \approx 4/2 = 2 \) s.

¿Qué pasa con la respuesta si un tercer polo está en la misma parte real que el par complejo?

Se vuelve más lenta y con menos sobrepaso: el par deja de ser dominante.

¿Qué región del plano s cumple ζ ≥ 0,7?

La de los polos que forman con el eje real negativo un ángulo de hasta 45,6°.

08Para ampliar

Katsuhiko Ogata. Ingeniería de control moderna. 5.ª ed., Pearson, 2010. El análisis de la respuesta transitoria con sus especificaciones.
Norman S. Nise. Control Systems Engineering. 8.ª ed., Wiley, 2019. Los polos dominantes y el efecto de polos y ceros adicionales.
Benjamin C. Kuo y Farid Golnaraghi. Automatic Control Systems. 10.ª ed., McGraw-Hill, 2017. Las especificaciones en el dominio del tiempo y las regiones del plano s.

← Contenido anterior

Modelado y simulación de sistemas dinámicos

Contenido siguiente →

Estado permanente y tipo de sistema