Estado permanente y tipo de sistema
Cada integrador en el lazo permite seguir sin error una entrada un grado más difícil. Un control de posición de un motor sigue un escalón exacto porque el motor ya integra.
01El error cuando todo se calmó
La respuesta transitoria dice cómo llega el sistema; el estado permanente, a dónde llega. En un lazo con realimentación unitaria y ganancia de lazo \( G(s) \), el error entre la referencia y la salida es \( E(s) = R(s)/(1 + G(s)) \), y su valor final se obtiene con el teorema del valor final de la transformada de Laplace, si el lazo cerrado es estable:
02El tipo de sistema y las constantes de error
El tipo de un sistema es la cantidad de polos en el origen de su ganancia de lazo, es decir, de integradores. Cada integrador permite seguir sin error una entrada un grado más difícil:
| Tipo | Escalón | Rampa | Parábola |
|---|---|---|---|
| 0 | \( 1/(1 + K_p) \) | Infinito | Infinito |
| 1 | 0 | \( 1/K_v \) | Infinito |
| 2 | 0 | 0 | \( 1/K_a \) |
Un control de posición de un motor, que ya integra la velocidad, es de tipo 1: sigue una posición fija sin error y una rampa con un error constante. El horno con control proporcional de la introducción es de tipo 0: por eso dejaba error. Agregar un integrador en el controlador sube el tipo en uno, a costa de fase y de estabilidad.
Tres lazos con realimentación unitaria: tipo 0, \( K/((s+1)(0{,}2s+1)) \); tipo 1, \( K/(s(0{,}2s+1)) \); tipo 2, \( K(s+0{,}5)/(s^2(0{,}2s+1)) \). Se simulan 20 s con Runge-Kutta; el gris es la referencia y el azul, la salida.
03Clasificación de los sistemas de control
Además del tipo, los sistemas de control se clasifican por lo que se les pide. Un regulador mantiene la salida en un valor fijo pese a las perturbaciones, como un horno o una fuente; un servomecanismo hace que la salida siga una referencia que cambia, como el eje de un robot. Se distinguen también los lineales de los no lineales, los continuos de los discretos, los de una entrada y una salida de los multivariables, y los de parámetros fijos de los adaptativos. La misma pregunta, cuánto error queda, se hace también frente a una perturbación constante, y la respuesta depende de dónde están los integradores respecto de ella.
04En el laboratorio
Cerrar un lazo proporcional de velocidad sobre un motor y medir el error permanente para varias ganancias. Comparar con \( 1/(1+K_p) \).
Con un lazo de posición, aplicar una referencia en rampa y medir el error de seguimiento. Verificar que baja al subir la ganancia.
Agregar una acción integral al lazo de velocidad y comprobar que el error de posición desaparece.
05Errores frecuentes
- Aplicar el teorema del valor final a un sistema inestable. El resultado no tiene sentido; primero hay que verificar la estabilidad.
- Contar los integradores de la planta sin mirar el controlador. El tipo es el de la ganancia de lazo completa.
- Subir la ganancia solo para bajar el error. El error baja, pero el sobrepaso y el riesgo de inestabilidad crecen.
- Confundir error frente a la referencia con error frente a perturbaciones. Dependen de dónde entra cada señal.
06Autoevaluación
Un sistema de tipo 0 con Kp = 19, ¿qué error tiene frente a un escalón unitario?
\( 1/20 = 0{,}05 \).
¿Qué error tiene un tipo 1 con Kv = 50 s⁻¹ frente a una rampa de 2 unidades por segundo?
\( 2/50 = 0{,}04 \).
¿Qué tipo tiene \( G(s) = 10/(s(s+2)(s+5)) \) y cuánto vale Kv?
Tipo 1; \( K_v = 10/10 = 1 \) s⁻¹.
¿Por qué un control de posición de un motor sigue un escalón sin error?
Porque el motor integra la velocidad: el lazo tiene un polo en el origen y es de tipo 1.
07Para ampliar
- Katsuhiko Ogata. Ingeniería de control moderna. 5.ª ed., Pearson, 2010. Los errores en estado estacionario y las constantes de error.
- Richard C. Dorf y Robert H. Bishop. Sistemas de control moderno. 10.ª ed., Pearson, 2005. El error permanente y la sensibilidad de los sistemas realimentados.
- Norman S. Nise. Control Systems Engineering. 8.ª ed., Wiley, 2019. El error permanente frente a referencias y perturbaciones.