Sistemas de Control · 96 h · Contenido 5 de 8

Estabilidad de sistemas de control

Routh encontró en 1877 cómo saber si un polinomio tiene raíces inestables sin calcularlas. Para un lazo de tercer orden, la misma tabla da la ganancia a la que empieza a oscilar y la frecuencia.

Ecuación característica Routh-Hurwitz Ganancia crítica Margen de ganancia Estabilidad relativa

01Qué es un sistema estable

Un sistema lineal es estable si toda entrada acotada produce una salida acotada. Para un sistema descripto por una función de transferencia racional, eso ocurre si y solo si todos sus polos tienen parte real negativa: cada polo aporta a la respuesta una exponencial \( e^{p t} \), que decae solo si \( \mathrm{Re}(p) < 0 \). La noción general se vio en estabilidad, de Señales y Sistemas. En control, el problema es que la realimentación mueve los polos: una planta estable puede volverse inestable al cerrar el lazo con demasiada ganancia, y una inestable puede estabilizarse.

\[ T(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)} \] \[ 1 + G(s) = 0 \] Los polos del lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica \( 1 + G(s) = 0 \). Con \( G = N/D \), son las raíces de \( D(s) + N(s) \).

02El criterio de Routh-Hurwitz

Calcular las raíces de un polinomio de grado alto era impracticable a mano. En 1877, Edward Routh encontró un procedimiento para saber cuántas tienen parte real positiva sin calcularlas. Con el polinomio \( a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \dots + a_0 \), se arma una tabla: las dos primeras filas con los coeficientes alternados, y cada fila siguiente a partir de las dos anteriores:

\[ b_1 = \frac{a_{n-1} a_{n-2} - a_n a_{n-3}}{a_{n-1}} \] La cantidad de cambios de signo en la primera columna es la cantidad de raíces con parte real positiva. El sistema es estable si todos los elementos de la primera columna tienen el mismo signo. Una condición necesaria, pero no suficiente, es que todos los coeficientes existan y tengan el mismo signo.

Para un lazo con \( G(s) = K/(s(s+a)(s+b)) \), la ecuación característica es \( s^3 + (a+b)s^2 + ab\,s + K = 0 \), y la tabla da el límite de la ganancia:

\[ K_{crit} = ab\,(a + b) \] \[ \omega_{osc} = \sqrt{ab} \] Con \( K = K_{crit} \) la tercera fila se anula: hay un par de raíces sobre el eje imaginario, y el sistema oscila a \( \omega_{osc} \), que sale de la fila anterior. Es el punto de partida del método de ajuste de Ziegler y Nichols.

Laboratorio · tabla de Routh y raíces

El lazo \( K/(s(s+a)(s+b)) \) con realimentación unitaria. A la izquierda, la primera columna de la tabla de Routh; a la derecha, las raíces de la ecuación característica en el plano s, calculadas numéricamente.

a =

b =

Ganancia K =

Hay dos casos especiales: si un elemento de la primera columna se anula y el resto de la fila no, se lo reemplaza por un número chico ε y se sigue; si se anula una fila entera, hay raíces simétricas respecto del origen, y se continúa con la derivada del polinomio auxiliar formado con la fila anterior.

03Estabilidad relativa

Saber que un sistema es estable no alcanza: un lazo con polos apenas a la izquierda del eje imaginario oscila mucho y cualquier cambio de parámetros lo vuelve inestable. La estabilidad relativa mide cuán lejos está: con el amortiguamiento de los polos dominantes, con el margen de ganancia (cuánto se puede multiplicar K antes de llegar a K_crit) o con los márgenes de la respuesta en frecuencia. El criterio de Routh se puede usar para esto desplazando el eje: reemplazando \( s \) por \( s - \sigma \) se averigua si todas las raíces están a la izquierda de \( -\sigma \).

04En el laboratorio

Actividad 1 · Ganancia crítica

Armar con operacionales un lazo de tercer orden con ganancia ajustable, subir la ganancia hasta que oscile y comparar la ganancia y la frecuencia de oscilación con las de Routh.

Actividad 2 · Routh en Python

Programar la tabla de Routh para un polinomio cualquiera, con los casos especiales, y verificar con las raíces calculadas numéricamente.

Actividad 3 · Margen de ganancia

Con el lazo del laboratorio, medir el margen de ganancia como el cociente entre la ganancia crítica y la de trabajo.

05Errores frecuentes

Mirar la estabilidad de la planta en lugar de la del lazo cerrado. La realimentación mueve los polos.
Quedarse con la condición de coeficientes positivos. Es necesaria pero no suficiente a partir de tercer orden.
Olvidar los casos especiales de la tabla. Un cero en la primera columna no significa estabilidad.
Diseñar justo por debajo de K_crit. El sistema es estable, pero oscila mucho y no tolera cambios.

06Autoevaluación

¿Cuál es la ganancia crítica de K/(s(s+2)(s+3))?

\( 6 \cdot 5 = 30 \), con oscilación a \( \sqrt 6 \approx 2{,}45 \) rad/s.

¿Cuántas raíces con parte real positiva hay si la primera columna es 1, 4, −2, 5?

Dos: hay dos cambios de signo.

¿Es estable s³ + s² + 2s + 8?

No: la tercera fila da \( (2 - 8)/1 = -6 \), dos cambios de signo.

¿Qué margen de ganancia tiene el lazo de la primera pregunta con K = 10?

3, es decir, 9,5 dB.

07Para ampliar

Katsuhiko Ogata. Ingeniería de control moderna. 5.ª ed., Pearson, 2010. El criterio de Routh con sus casos especiales y la estabilidad relativa.
Richard C. Dorf y Robert H. Bishop. Sistemas de control moderno. 10.ª ed., Pearson, 2005. La estabilidad de los sistemas realimentados con ejemplos de diseño.
Edward J. Routh. A Treatise on the Stability of a Given State of Motion. Macmillan, 1877. El ensayo original, premiado por la Universidad de Cambridge.

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