El lugar de las raíces
Tres polos sin ceros dejan dos ramas que se van al semiplano derecho a 60°. Un cero bien ubicado las vuelve verticales, y el lazo queda estable para cualquier ganancia.
01Los polos del lazo en función de la ganancia
El criterio de Routh dice si el lazo es estable para una ganancia. El lugar de las raíces, propuesto por Walter Evans en 1948, muestra cómo se mueven todos los polos del lazo cerrado cuando la ganancia \( K \) va de cero a infinito. Son los puntos del plano s que cumplen la ecuación característica \( 1 + K\,G(s) = 0 \), es decir, dos condiciones:
02Reglas de construcción
Evans dio reglas para dibujarlo a mano, que siguen siendo la mejor manera de entender su forma:
- Empieza en los polos de lazo abierto (K = 0) y termina en los ceros (K → ∞); si hay más polos que ceros, las ramas sobrantes van al infinito.
- Sobre el eje real, pertenecen al lugar los tramos que tienen a su derecha una cantidad impar de polos y ceros.
- Las ramas que van al infinito siguen asíntotas que salen del centroide con ángulos fijos:
- Dos ramas que se encuentran sobre el eje real se separan en el punto de separación, donde \( dK/ds = 0 \).
- El cruce con el eje imaginario se obtiene con Routh: es la ganancia crítica.
El lugar de \( K\,G(s) \) con \( G(s) = 1/(s(s+a)(s+b)) \), con la opción de agregar un cero en \( -z \). Los puntos celestes son el lugar para K entre 0,01 y 1000; los grandes, los polos del lazo cerrado para la K elegida; las cruces, los polos de lazo abierto, y el círculo, el cero.
03Moldear el lugar con polos y ceros
Un cero atrae las ramas: agregado a la izquierda de los polos dominantes, tuerce el lugar hacia la izquierda, aleja las asíntotas del eje imaginario y permite más ganancia con más amortiguamiento. Es el efecto de la acción derivativa y de la red de adelanto, que agrega un cero y un polo más lejano. Un polo agregado cerca del origen, como la acción integral o la red de atraso, empuja las ramas hacia la derecha: mejora el error permanente a costa de estabilidad, y por eso se lo acompaña con un cero muy cercano, para que el lugar casi no cambie.
04En el laboratorio
Dibujar el lugar de las raíces del lazo del laboratorio con la biblioteca de control de Python y verificar el punto de separación y la ganancia crítica calculados a mano.
Elegir la ganancia que da un amortiguamiento de 0,5 en los polos dominantes y verificar el sobrepaso con una simulación.
Agregar un cero al lazo armado con operacionales y medir cómo cambian la ganancia crítica y el sobrepaso.
05Errores frecuentes
- Olvidar que el lugar es del lazo cerrado. Los polos que se mueven son los de \( 1 + KG = 0 \), no los de G.
- Contar mal los tramos del eje real. Se cuentan los polos y ceros a la derecha del punto, no a la izquierda.
- Usar el lugar para un parámetro que no multiplica a toda la ganancia. Hay que reescribir la ecuación para que aparezca como factor.
- Ignorar la cancelación imperfecta de un polo con un cero. Deja una respuesta lenta de baja amplitud.
06Autoevaluación
¿Dónde está el centroide de las asíntotas de K/(s(s+1)(s+5))?
\( (0 - 1 - 5)/3 = -2 \).
¿Qué tramos del eje real pertenecen a ese lugar?
De 0 a −1 y de −5 a −∞.
¿Dónde se separan las ramas del tramo de 0 a −1?
En s ≈ −0,47, con K ≈ 1,13.
¿Qué ángulos tienen las asíntotas si se agrega un cero?
±90°: quedan dos ramas al infinito.
07Para ampliar
- Katsuhiko Ogata. Ingeniería de control moderna. 5.ª ed., Pearson, 2010. Las reglas del lugar de las raíces y el diseño de compensadores de adelanto y atraso.
- Walter R. Evans. Control-System Dynamics. McGraw-Hill, 1954. El libro del creador del método.
- Gene F. Franklin, J. David Powell y Abbas Emami-Naeini. Feedback Control of Dynamic Systems. 8.ª ed., Pearson, 2019. El diseño con el lugar de las raíces explicado con ejemplos reales.