Respuesta en frecuencia en control
Un retardo no cambia la ganancia de un lazo, pero le agrega fase sin límite: su diagrama de Nyquist es una espiral. Por eso los procesos con retardo se controlan con ganancias bajas.
01Diseñar mirando la ganancia de lazo en frecuencia
El lugar de las raíces necesita un modelo con polos y ceros. La respuesta en frecuencia trabaja con lo que se puede medir: la ganancia de lazo \( G(j\omega) \), con un generador y un analizador, aunque la planta tenga retardos o partes que no se sabe modelar. Sus dos representaciones son el diagrama de Bode, módulo y fase en función de la frecuencia, y el diagrama de Nyquist, la curva que recorre \( G(j\omega) \) en el plano complejo. Los fundamentos se vieron en respuesta en frecuencia, de Señales y Sistemas, y su uso en amplificadores en estabilidad y compensación.
02El criterio de Nyquist
El lazo cerrado es inestable si \( 1 + G(s) \) tiene ceros en el semiplano derecho. Harry Nyquist mostró en 1932 que se pueden contar mirando cuántas veces la curva de \( G(j\omega) \), recorrida para ω de −∞ a +∞, rodea el punto −1:
La distancia de la curva al punto −1 es la medida de la estabilidad relativa, y se resume en dos márgenes:
03El retardo
Muchos procesos tienen un retardo puro: el tiempo que tarda el agua caliente en llegar por un caño, o una medición en procesarse. Un retardo \( T \) no cambia el módulo pero agrega una fase \( -\omega T \) que crece sin límite, y su diagrama de Nyquist es una espiral. No se lo puede representar con un número finito de polos, pero la respuesta en frecuencia lo trata sin dificultad. Es la razón por la que los procesos con retardo se controlan con ganancias bajas.
La curva de \( K\,G(j\omega) \) para ω de 0 a infinito (la mitad simétrica, de −∞ a 0, se dibuja tenue). El punto rojo es −1; el círculo punteado, el de módulo unitario, donde se lee el margen de fase.
04Del lazo abierto al lazo cerrado
Los márgenes se traducen en la respuesta del lazo cerrado: un margen de fase de 45° da un sobrepaso cercano al 23 %, y uno de 60°, cercano al 9 %, como en un sistema de segundo orden. La frecuencia de cruce \( \omega_c \) fija el ancho de banda del lazo cerrado y, con él, la velocidad de respuesta. Diseñar en frecuencia es darle forma a \( |G(j\omega)| \): alta a bajas frecuencias para rechazar perturbaciones y reducir el error, baja a altas frecuencias para no amplificar ruido, y con una pendiente suave, de unos −20 dB por década, en el cruce, para que la fase tenga margen.
05En el laboratorio
Medir con un generador y un osciloscopio la respuesta en frecuencia de un circuito de tres etapas RC separadas por seguidores, y dibujar su Bode. Calcular la ganancia que llevaría el lazo a oscilar.
Con las mismas mediciones, dibujar el diagrama de Nyquist y leer los márgenes para una ganancia dada.
Cerrar el lazo con un microcontrolador que agrega uno o dos períodos de muestreo de retardo, y medir cómo cae el margen de fase.
06Errores frecuentes
- Mirar el Bode del lazo cerrado para juzgar la estabilidad. Los márgenes se leen en la ganancia de lazo.
- Olvidar los polos inestables de lazo abierto. Con P distinto de cero, el lazo necesita rodear a −1 para ser estable.
- Ignorar el retardo de un controlador digital. La conversión y el cálculo agregan fase a altas frecuencias.
- Confiar en un solo margen. Una curva puede tener buen margen de ganancia y pasar muy cerca de −1 por otro lado.
07Autoevaluación
¿Cuál es el margen de ganancia de K/(s+1)³ con K = 4?
La fase llega a −180° en ω = √3, donde \( |G| = 4/8 \): margen de 2, es decir, 6 dB.
¿Cuánta fase agrega un retardo de 0,1 s a 10 rad/s?
1 rad, unos 57°.
¿Qué sobrepaso se espera con 45° de margen de fase?
Alrededor del 23 %.
¿Qué dice el criterio de Nyquist si la planta es estable?
Que el lazo cerrado es estable si el diagrama no rodea al punto −1.
08Para ampliar
- Katsuhiko Ogata. Ingeniería de control moderna. 5.ª ed., Pearson, 2010. Los diagramas de Bode y Nyquist y el diseño por respuesta en frecuencia.
- Karl J. Åström y Richard M. Murray. Feedback Systems. 2.ª ed., Princeton University Press, 2021. El criterio de Nyquist, la robustez y los compromisos del diseño en frecuencia.
- Harry Nyquist. Regeneration Theory. Bell System Technical Journal, 11, 1932. El artículo original del criterio de estabilidad.