Sistemas de Control · 96 h · Contenido 8 de 8

Diseño de controladores continuos y discretos

El mismo PID que controla bien una planta en continuo la hace oscilar si se lo implementa muestreando cada medio segundo. El período de muestreo es parte del diseño.

PID Ziegler-Nichols Control digital Período de muestreo Desborde de la integral

01El controlador PID

La mayoría de los lazos industriales usan un controlador de tres acciones. La proporcional actúa según el error actual; la integral, según el error acumulado, y elimina el error permanente porque sube el tipo del sistema, como se vio en estado permanente; la derivativa, según la velocidad de cambio, y anticipa, agregando fase y amortiguamiento:

\[ u(t) = K_p \left( e(t) + \frac{1}{T_i}\int_0^t e\,d\tau + T_d \frac{de}{dt} \right) \] \( T_i \) es el tiempo integral y \( T_d \) el derivativo. En la práctica la derivada se aplica a la medición y no al error, para no dar un golpe al cambiar la referencia, y se filtra para no amplificar el ruido.

En el lugar de las raíces, el PID agrega un polo en el origen y dos ceros, que atraen las ramas hacia la izquierda; en frecuencia, sube la ganancia a bajas frecuencias y agrega fase cerca del cruce. Las dos lecturas se vieron en lugar de las raíces y en respuesta en frecuencia.

02Sintonía: Ziegler y Nichols

En 1942, John Ziegler y Nathaniel Nichols propusieron reglas empíricas para ajustar un PID sin modelo. En el método de la oscilación, se deja solo la acción proporcional, se sube la ganancia hasta que el lazo oscila en forma sostenida y se anotan esa ganancia última \( K_u \) y el período \( T_u \). Es la ganancia crítica que da el criterio de Routh:

\[ K_p = 0{,}6\, K_u, \quad T_i = T_u/2, \quad T_d = T_u/8 \] Para la planta \( 1/(s+1)^3 \), \( K_u = 8 \) y \( T_u = 2\pi/\sqrt 3 \approx 3{,}63 \) s. Las reglas buscan un decaimiento de un cuarto entre picos sucesivos: dan una respuesta rápida pero con mucho sobrepaso, y son un punto de partida para el ajuste fino.

03El controlador digital

Hoy el PID se implementa en un microcontrolador o un PLC. En cada período de muestreo \( T_s \) se lee el sensor, se calcula la acción y se la mantiene constante hasta el período siguiente (retenedor de orden cero). La forma más simple aproxima la integral por una suma y la derivada por una diferencia:

\[ I_k = I_{k-1} + \frac{K_p T_s}{T_i}\, e_k \] \[ u_k = K_p\, e_k + I_k - K_p T_d\, \frac{y_k - y_{k-1}}{T_s} \] Hay versiones más exactas, como la transformación bilineal de Tustin, que conserva mejor la respuesta en frecuencia. El muestreo y la retención equivalen aproximadamente a un retardo de medio período, que resta fase: con \( T_s \) grande frente a la dinámica del lazo, el control digital se degrada y puede volverse inestable. La regla práctica pide muestrear entre diez y veinte veces por constante de tiempo del lazo cerrado.

Laboratorio · PID continuo y digital

Un PID sobre la planta \( 1/(s+1)^3 \) con un escalón de referencia unitario. La planta se integra con Runge-Kutta con paso de 1 ms; el controlador calcula su acción cada \( T_s \) y la mantiene hasta el período siguiente. La línea punteada es la referencia.

K_p =

T_i =

T_d =

04El proyecto de un sistema de control

Un proyecto completo recorre todo lo visto en la materia: especificar el comportamiento pedido (sobrepaso, tiempo de establecimiento, error permanente, rechazo de perturbaciones), modelar o identificar la planta, elegir la estructura del controlador, calcularlo con el lugar de las raíces o en frecuencia, verificarlo por simulación con las no linealidades reales (saturación del actuador, con su protección contra el desborde de la integral), elegir el período de muestreo, implementarlo y ajustarlo sobre la planta real.

05En el laboratorio

Actividad 1 · Ziegler-Nichols real

Sobre una planta térmica o de velocidad, encontrar K_u y T_u con el método de la oscilación y aplicar las reglas. Medir el sobrepaso y ajustar a mano.

Actividad 2 · Período de muestreo

Implementar el PID en un microcontrolador y aumentar el período de muestreo hasta que la respuesta se degrade.

Actividad 3 · Desborde de la integral

Saturar el actuador con un escalón grande y comparar la respuesta con y sin protección contra el desborde de la integral.

06Errores frecuentes

Derivar el error. Un cambio de referencia produce un pico enorme de la acción; conviene derivar la medición.
Olvidar la saturación del actuador. La integral sigue creciendo y produce un sobrepaso grande al salir de la saturación.
Muestrear demasiado lento. El retardo del muestreo resta fase y puede volver inestable un lazo que en continuo era estable.
Tomar la sintonía de Ziegler-Nichols como final. Da respuestas con mucho sobrepaso; es un punto de partida.

07Autoevaluación

Un lazo oscila con K_u = 12 y T_u = 2 s. ¿Qué PID dan las reglas de Ziegler-Nichols?

K_p = 7,2; T_i = 1 s; T_d = 0,25 s.

¿Qué acción elimina el error permanente frente a un escalón?

La integral.

¿Qué retardo aproximado agrega un retenedor con T_s = 0,2 s?

Medio período: 0,1 s.

¿Por qué se filtra la acción derivativa?

Porque amplifica el ruido de alta frecuencia de la medición.

08Para ampliar

Karl J. Åström y Tore Hägglund. Advanced PID Control. ISA, 2006. El PID en la práctica: sintonía, filtrado, desborde de la integral e implementación.
Katsuhiko Ogata. Sistemas de control en tiempo discreto. 2.ª ed., Prentice Hall, 1996. La transformada z, el muestreo y el diseño de controladores digitales.
John G. Ziegler y Nathaniel B. Nichols. Optimum Settings for Automatic Controllers. Transactions of the ASME, 64, 1942. El artículo original de las reglas de sintonía.

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