Modelado y simulación de sistemas dinámicos
Despreciar la inductancia de un motor chico es casi siempre razonable. Con 10 mH y poca inercia, el modelo simplificado no ve que la velocidad se pasa un 70 % antes de estabilizarse.
01Del sistema físico a las ecuaciones
Para calcular un controlador hace falta un modelo de la planta: ecuaciones que describan cómo responde a sus entradas. Se obtiene aplicando las leyes físicas de cada dominio, las de Kirchhoff en los circuitos, las de Newton en la mecánica, los balances de energía y masa en los procesos térmicos y químicos, y linealizando alrededor del punto de trabajo. Las analogías entre dominios hacen que un mismo tipo de ecuación describa sistemas muy distintos:
| Dominio | Esfuerzo | Flujo | Almacena energía | Disipa |
|---|---|---|---|---|
| Eléctrico | Tensión | Corriente | Capacidad, inductancia | Resistencia |
| Mecánico de rotación | Par | Velocidad angular | Inercia, resorte | Fricción viscosa |
| Térmico | Temperatura | Flujo de calor | Capacidad térmica | Resistencia térmica |
| Hidráulico | Presión | Caudal | Tanque, inercia del fluido | Restricción |
02Un ejemplo completo: el motor de corriente continua
El motor de continua con imán permanente acopla un circuito eléctrico, con resistencia \( R \) e inductancia \( L \), y una carga mecánica, con inercia \( J \) y fricción \( b \). La fuerza contraelectromotriz es \( K\omega \) y el par, \( Ki \). Con las variables de estado \( i \) y \( \omega \):
03Espacio de estados y función de transferencia
El mismo modelo se escribe de dos maneras. En espacio de estados, como un sistema de ecuaciones de primer orden en forma matricial, que admite varias entradas y salidas, condiciones iniciales y alinealidades, y se integra numéricamente. Con la transformada de Laplace y condiciones iniciales nulas, como una función de transferencia entre una entrada y una salida:
Un motor con R = 1 Ω, K = 0,05 V·s/rad y b = 10⁻⁵ N·m·s, alimentado con un escalón de 12 V. La curva azul es la velocidad del modelo completo, integrado con Runge-Kutta de cuarto orden en 4000 pasos; la punteada, la del modelo de primer orden; abajo, la corriente.
04Simulación
Simular es integrar numéricamente las ecuaciones de estado. El método de Euler avanza con la derivada del comienzo del paso; Runge-Kutta de cuarto orden promedia cuatro derivadas y es mucho más exacto con el mismo paso. El paso tiene que ser bastante menor que la constante de tiempo más rápida del sistema: si hay constantes muy distintas, el sistema es rígido y conviene un integrador de paso variable o implícito. Las herramientas habituales, como Simulink, Xcos, Modelica o las bibliotecas de Python, hacen esto automáticamente, pero el modelo lo escribe el ingeniero.
05En el laboratorio
Medir R con el motor frenado, K con el motor en vacío como generador, y τm con la respuesta al escalón de velocidad. Armar el modelo y comparar la simulación con la medición.
Simular el motor en Python con los dos métodos y distintos pasos, y comparar con la solución exacta.
Modelar un bloque calefaccionado con su capacidad y su resistencia térmica y verificar la constante de tiempo con una medición.
06Errores frecuentes
- Usar el modelo fuera del punto donde se linealizó. Con grandes excursiones, las alinealidades cambian la respuesta.
- Despreciar la inductancia sin verificar. Solo vale si la constante eléctrica es mucho menor que la mecánica.
- Simular con un paso grande. La simulación puede oscilar o divergir aunque el sistema sea estable.
- Confundir la función de transferencia con el sistema. Describe una entrada y una salida con condiciones iniciales nulas.
07Autoevaluación
¿Qué velocidad final alcanza el motor del laboratorio con 12 V?
\( K V/(Rb + K^2) = 0{,}6/0{,}00251 \approx 239 \) rad/s.
¿Cuánto vale τm con J = 10⁻⁵ kg·m²?
\( 10^{-5}/0{,}00251 \approx 4 \) ms.
¿Cuántas variables de estado necesita un sistema con dos capacitores y un inductor independientes?
Tres.
¿Qué relación hay entre los polos de la función de transferencia y la matriz A?
Los polos son los autovalores de A.
08Para ampliar
- Katsuhiko Ogata. Dinámica de sistemas. Prentice Hall Hispanoamericana, 1987. El modelado de sistemas mecánicos, eléctricos, térmicos e hidráulicos con el mismo método.
- Norman S. Nise. Control Systems Engineering. 8.ª ed., Wiley, 2019. El modelado en espacio de estados y función de transferencia con muchos ejemplos.
- Gene F. Franklin, J. David Powell y Abbas Emami-Naeini. Feedback Control of Dynamic Systems. 8.ª ed., Pearson, 2019. Modelos de sistemas reales, del motor al avión, y su simulación.