Cinemática del punto material
La cinemática describe el movimiento sin preguntarse por sus causas. Son tres funciones del tiempo —posición, velocidad y aceleración— ligadas por una derivada, y esa misma estructura reaparece después en la carga de un capacitor.
01Describir un movimiento
Antes de preguntarse por qué algo se mueve hay que poder decir cómo se mueve. Para eso hacen falta tres decisiones previas, que casi siempre se toman sin darse cuenta:
- Un sistema de referencia. No existe el movimiento absoluto: un pasajero sentado está quieto respecto del colectivo y a 60 km/h respecto de la calle. Las dos descripciones son correctas.
- Un origen de tiempos. El instante que se llama t = 0.
- Un modelo del cuerpo. Si las dimensiones del objeto no importan para el problema, se lo trata como un punto material: toda su masa concentrada en un punto. Un satélite en órbita es un punto; el mismo satélite orientando su antena, ya no.
La posición r⃗(t) es el dato primario. La velocidad es su derivada y la aceleración, la derivada de la velocidad:
Y al revés, integrando: de la aceleración se recupera la velocidad y de ella la posición, a costa de dos constantes que son la velocidad y la posición iniciales.
Esta estructura —una magnitud, su derivada y su segunda derivada— es la misma de las ecuaciones diferenciales que describen la carga de un capacitor. No es una analogía forzada: es literalmente la misma matemática con otros nombres.
02Movimiento rectilíneo
| Caso | Aceleración | Velocidad | Posición |
|---|---|---|---|
| Uniforme (MRU) | 0 | v constante | x = x₀ + v·t |
| Uniformemente variado (MRUV) | a constante | v = v₀ + a·t | x = x₀ + v₀·t + ½·a·t² |
| Caída libre | g ≈ 9,8 m/s² hacia abajo | v = v₀ − g·t | y = y₀ + v₀·t − ½·g·t² |
Eliminando el tiempo entre las dos últimas columnas del MRUV queda una relación muy útil, porque no necesita saber cuánto duró el movimiento:
La velocidad media es el desplazamiento sobre el tiempo, y puede ser cero aunque el cuerpo se haya movido muchísimo: basta que vuelva al punto de partida. La rapidez media, en cambio, usa la distancia recorrida y nunca es negativa. En un gráfico x–t, la velocidad media es la pendiente de la secante y la instantánea, la de la tangente.
Elegí el tipo de movimiento y movete por el tiempo con el deslizador. Los números de la derecha salen de derivar la posición, no de una tabla.
03Leer las gráficas
Buena parte de los problemas de cinemática se resuelven mirando y no calculando, si se recuerdan dos reglas:
La pendiente de una gráfica es la derivada y el área bajo ella es la integral.
- Pendiente de x–t = velocidad. Pendiente de v–t = aceleración.
- Área bajo v–t = desplazamiento. Área bajo a–t = cambio de velocidad.
Por eso en un MRUV el área bajo v–t es un trapecio, y su fórmula —base media por altura— es exactamente x = (v₀ + v)/2 · t.
El área bajo la curva cuenta con signo: un tramo de v–t por debajo del eje resta desplazamiento. Es la misma distinción entre integral definida y área geométrica.
04Movimiento en el plano: tiro oblicuo
El principio de independencia de los movimientos dice que las componentes x e y se pueden tratar por separado. En el tiro oblicuo, con el aire despreciado:
| Eje | Tipo de movimiento | Ecuaciones |
|---|---|---|
| Horizontal | MRU: no hay fuerza horizontal | x = v₀·cosθ·t |
| Vertical | MRUV con a = −g | y = v₀·senθ·t − ½·g·t² |
De ahí salen los tres resultados que conviene tener memorizados, para tiro desde el suelo:
05Movimiento circular
En un movimiento circular uniforme el módulo de la velocidad no cambia, pero su dirección sí: hay aceleración, y apunta siempre al centro.
La velocidad angular ω en rad/s es la misma ω de la pulsación de una señal senoidal. Proyectar sobre un eje un punto que gira con velocidad angular constante da exactamente una senoide: ese es el origen del fasor con el que se resuelven los circuitos de corriente alterna, y la razón de que un alternador genere una tensión senoidal al girar.
06Movimiento relativo
Si un cuerpo se mueve respecto de un sistema que a su vez se mueve, las velocidades se suman como vectores: v⃗AC = v⃗AB + v⃗BC. Es lo que explica que un nadador que cruza un río perpendicular a la orilla termine aguas abajo, y por qué hay que apuntar contra la corriente para llegar enfrente.
El mismo razonamiento, aplicado a las ondas en lugar de a los cuerpos, produce el efecto Doppler, y cuando las velocidades se acercan a la de la luz, la suma simple deja de valer: ahí empieza la relatividad.
07En el laboratorio
Filmar la caída de un objeto a 240 cuadros por segundo contra una regla vertical. Medir la posición cada cinco cuadros, graficar y–t y ajustar una parábola. El coeficiente cuadrático es −g/2.
Con un chorro de agua a caudal constante, medir el alcance para cinco ángulos entre 15° y 75°. Verificar que el máximo está en 45° y que los ángulos complementarios dan alcances iguales.
Armar dos barreras con LED y fototransistor separadas 20 cm y medir con un microcontrolador el tiempo entre interrupciones. Es el mismo principio del encoder de un motor, y permite medir la velocidad instantánea de un carrito en un plano inclinado.
08Errores frecuentes
- Confundir velocidad con rapidez, o desplazamiento con distancia recorrida.
- Creer que aceleración cero implica velocidad cero. Un cuerpo puede moverse rápido sin acelerar, y estar instantáneamente quieto con aceleración máxima: es lo que pasa en el punto más alto de un tiro vertical.
- Usar las fórmulas del MRUV cuando la aceleración no es constante.
- Mezclar los ejes en el tiro oblicuo y aplicarle la gravedad al movimiento horizontal.
- Suponer que en el circular uniforme no hay aceleración porque la rapidez no cambia. La dirección sí cambia, y eso ya es aceleración.
- Olvidar los signos: fijado el sentido positivo del eje, hay que respetarlo hasta el final.
09Autoevaluación
Un auto pasa de 0 a 100 km/h en 8 s. ¿Cuál es su aceleración media?
100 km/h = 27,8 m/s, así que a = 27,8/8 ≈ 3,5 m/s², algo más de un tercio de g.
Se lanza una piedra hacia arriba a 20 m/s. ¿Cuánto sube y cuánto tarda en volver?
h = v₀²/(2g) = 400/19,6 ≈ 20,4 m; tarda v₀/g ≈ 2,04 s en subir y el doble, 4,08 s, en volver al punto de partida.
¿Qué representa el área bajo una gráfica v–t?
El desplazamiento, contado con signo.
Dos proyectiles salen a 30 m/s, uno a 30° y otro a 60°. ¿Cuál llega más lejos?
Ninguno: los ángulos son complementarios y el alcance es el mismo, unos 79,5 m. El de 60° sube más alto y tarda más en caer.
Un punto gira a 3000 rpm en un radio de 4 cm. ¿Cuál es su aceleración centrípeta?
ω = 3000·2π/60 = 314 rad/s, así que a = ω²r = 314²·0,04 ≈ 3950 m/s², unas 400 veces g. Por eso los rotores se equilibran con tanto cuidado.
¿Por qué un punto que gira uniformemente genera una senoide al proyectarlo?
Porque su coordenada es x = r·cos(ωt): la misma expresión de una señal alterna de amplitud r y pulsación ω. De ahí viene la representación fasorial.
10Para ampliar
- Raymond A. Serway y John W. Jewett. Física para ciencias e ingeniería, volumen 1. 9.ª ed., Cengage Learning, 2014. Capítulos 2 a 4: el texto estándar de la materia, con problemas graduados.
- Paul A. Tipler y Gene Mosca. Física para la ciencia y la tecnología, volumen 1. 6.ª ed., Reverté, 2010. Explicaciones más discursivas y buenos ejemplos de movimiento relativo.
- Richard P. Feynman. Física, volumen I: mecánica, radiación y calor. Addison-Wesley / Pearson, 1963. Los capítulos 8 y 9 muestran de dónde sale el cálculo diferencial aplicado al movimiento.
- Marcelo Alonso y Edward J. Finn. Física. Addison-Wesley Iberoamericana, 1995. El clásico de las facultades de ingeniería argentinas, con tratamiento vectorial desde el principio.