Teoría básica de semiconductores: transporte de portadores
Una oblea de silicio con un átomo de fósforo cada diez millones conduce más de cien mil veces mejor que el silicio puro. Todo dispositivo nace de controlar cuántos portadores hay y cómo se mueven.
01Del material al dispositivo
La página de física de los semiconductores dejó establecido cuántos portadores hay: la concentración intrínseca \( n_i \), del orden de \( 10^{10} \) cm⁻³ en el silicio a temperatura ambiente, la ley de acción de masas \( n\,p = n_i^2 \) y cómo el dopaje fija una de las dos concentraciones. Un dispositivo, en cambio, se define por cómo se mueven esos portadores: qué corriente circula, hacia dónde, y cuánto tardan en aparecer o desaparecer.
Hay solamente dos mecanismos que producen corriente en un semiconductor, deriva y difusión, y dos procesos que cambian la cantidad de portadores, generación y recombinación. Con esas cuatro piezas y una ecuación que las junta se explica el diodo, el transistor bipolar y la celda solar.
02Deriva y movilidad
Un campo eléctrico acelera a los portadores, pero los choques con la red cristalina y con las impurezas los frenan una y otra vez. El resultado neto es una velocidad media proporcional al campo, y la constante de proporcionalidad es la movilidad \( \mu \):
En el silicio poco dopado a 300 K, \( \mu_n \approx 1400 \) y \( \mu_p \approx 470 \) cm²/V·s: los electrones son unas tres veces más móviles que los huecos, y esa asimetría reaparece en todos los dispositivos (un transistor PMOS tiene que ser más ancho que el NMOS para conducir lo mismo). Con 1 V aplicado sobre 10 µm, el campo es de 1000 V/cm y un electrón deriva a unos 14 km/s.
La movilidad baja cuando aumenta el dopaje, porque cada impureza ionizada es un centro de choque más. Un ajuste empírico muy usado es el de Caughey y Thomas:
\( v = \mu E \) vale para campos moderados. Por encima de unos \( 10^4 \) V/cm la velocidad deja de crecer y se satura cerca de \( 10^7 \) cm/s. En un transistor MOS moderno, con canales de decenas de nanómetros, casi todo el canal trabaja saturado en velocidad: es uno de los efectos de canal corto de la unidad sobre tecnología MOS.
Elegís el tipo de impureza y su concentración. El gráfico muestra la resistividad del silicio a 300 K para las dos (la curva de Irvin, que usan las fábricas para medir el dopaje de las obleas) y el punto elegido. Con el tiempo de vida se calcula además cuánto se aleja un portador minoritario antes de recombinarse.
03Difusión y la relación de Einstein
Sin ningún campo aplicado también puede haber corriente. Si la concentración de portadores no es uniforme, su movimiento térmico al azar lleva más portadores de la zona poblada a la despoblada que al revés: es la difusión, la misma que reparte una gota de tinta en un vaso de agua. La corriente es proporcional al gradiente de concentración:
Deriva y difusión no son independientes: las dos las limitan los mismos choques. Einstein mostró que el cociente entre el coeficiente de difusión y la movilidad es la tensión térmica:
La corriente total de cada portador es la suma de las dos contribuciones. Estas dos expresiones son el punto de partida de toda la teoría de dispositivos:
La tensión térmica \( V_T \) aparece acá por primera vez y no se va más: está en la ecuación del diodo, en la transconductancia del transistor bipolar y en la pendiente subumbral del MOS.
04Generación, recombinación y tiempo de vida
En equilibrio se generan pares electrón-hueco por agitación térmica al mismo ritmo en que se recombinan, y \( n\,p = n_i^2 \). Si algo inyecta portadores de más (luz, una juntura en directa), el exceso se recombina y la concentración vuelve al equilibrio. En baja inyección —el exceso es mucho menor que la concentración de mayoritarios— lo que decide el ritmo es el portador minoritario, y la recombinación es proporcional al exceso:
El silicio tiene banda prohibida indirecta: un electrón no puede caer directamente a un hueco emitiendo un fotón, y se recombina casi siempre a través de defectos con niveles dentro de la banda prohibida (el mecanismo de Shockley-Read-Hall). Por eso el tiempo de vida depende más de la pureza que del material: va de milisegundos en silicio muy puro a nanosegundos cuando se lo contamina a propósito con oro o platino para hacer diodos rápidos. Con \( D_n = 36{,}6 \) cm²/s y \( \tau_n = 1 \) µs, la longitud de difusión es de unos 60 µm.
| Dispositivo | Qué se busca | Por qué |
|---|---|---|
| Celda solar | \( \tau \) largo, \( L \) de cientos de µm | Los portadores generados por la luz tienen que llegar a la juntura antes de recombinarse |
| Transistor bipolar | Base mucho más delgada que \( L \) | Los electrones inyectados por el emisor tienen que cruzar la base sin perderse |
| Diodo de conmutación rápida | \( \tau \) muy corto | La carga almacenada tiene que desaparecer rápido al pasar de directa a inversa |
05La ecuación de continuidad
Las piezas anteriores se juntan en un balance: en un trocito de semiconductor, la cantidad de electrones cambia por lo que entra menos lo que sale, más lo que se genera, menos lo que se recombina:
El caso más útil es el estacionario, sin campo, con portadores minoritarios inyectados en un extremo. La ecuación queda \( D\,\dfrac{d^2 \Delta p}{dx^2} = \dfrac{\Delta p}{\tau} \), y su solución es un exceso que decae exponencialmente con la longitud de difusión:
Ese perfil es exactamente lo que pasa a cada lado de una juntura en directa, y de su pendiente en el borde sale la corriente del diodo, como se ve en la unidad siguiente.
06Dónde aparece en la electrónica
| Caso | El mecanismo |
|---|---|
| Resistores integrados | Una franja difundida de resistencia de cuadro conocida: la resistividad dividida por el espesor |
| Medir el dopaje de una oblea | La sonda de cuatro puntas mide la resistividad y la curva de Irvin da la concentración |
| Sensor de efecto Hall | La deriva de los portadores desviada por un campo magnético; la sensibilidad crece con la movilidad |
| Fotoconductor | La luz genera pares y la conductividad sube mientras dura su tiempo de vida |
| Semiconductores rápidos (GaAs, InP) | Movilidades de electrones varias veces mayores que la del silicio, para radiofrecuencia y microondas |
07En el laboratorio
Medir con cuatro puntas colineales equiespaciadas una oblea de silicio y calcular \( \rho = 2\pi s\,V/I \) (válido para espesores grandes frente al espaciado \( s \); si no, aplicar el factor de corrección). Deducir el dopaje con la curva del laboratorio de esta página.
Polarizar una fotorresistencia (LDR) con una fuente y una resistencia en serie, iluminarla con un LED pulsado y observar con el osciloscopio cuánto tarda la resistencia en volver al valor de oscuridad al apagar la luz.
Medir la resistencia de un termistor NTC entre 0 °C y 80 °C y graficar el logaritmo de \( R \) contra \( 1/T \). Estimar la energía de activación con la pendiente y compararla con la banda prohibida del material.
08Errores frecuentes
- Pensar que más dopaje da siempre proporcionalmente más conducción. La conductividad crece menos que el dopaje, porque la movilidad baja.
- Usar la misma movilidad para electrones y huecos. En silicio difieren en un factor de tres.
- Olvidar la difusión donde no hay campo. En la base de un transistor bipolar casi toda la corriente es de difusión.
- Aplicar \( v = \mu E \) con campos intensos. La velocidad se satura cerca de \( 10^7 \) cm/s.
- Confundir tiempo de vida con tiempo de tránsito. El primero es cuánto vive un minoritario; el segundo, cuánto tarda en cruzar una región.
09Autoevaluación
¿Cuáles son los dos mecanismos de corriente en un semiconductor y qué los impulsa?
La deriva, impulsada por el campo eléctrico, y la difusión, impulsada por el gradiente de concentración.
¿Por qué la movilidad disminuye con el dopaje?
Porque cada impureza ionizada es un centro de dispersión adicional para los portadores.
Si \( \mu_p = 470 \) cm²/V·s, ¿cuánto vale \( D_p \) a 300 K?
\( D_p = \mu_p V_T = 470 \times 0{,}02585 \approx 12{,}2 \) cm²/s.
Con \( D = 12 \) cm²/s y \( \tau = 10 \) µs, ¿cuál es la longitud de difusión?
\( L = \sqrt{12 \times 10^{-5}} \approx 1{,}1 \times 10^{-2} \) cm, unos 110 µm.
¿Por qué se contamina con oro el silicio de un diodo rápido?
El oro introduce niveles en el medio de la banda prohibida que aceleran la recombinación y acortan el tiempo de vida, así la carga almacenada desaparece antes.
10Para ampliar
- Robert F. Pierret. Semiconductor Device Fundamentals. Addison-Wesley, 1996. Deriva, difusión y la ecuación de continuidad desarrolladas con paciencia, con problemas resueltos.
- Donald A. Neamen. Semiconductor Physics and Devices. 4.ª ed., McGraw-Hill, 2012. El texto de curso más usado; los capítulos de transporte y de portadores en exceso son la base de esta unidad.
- Simon M. Sze y Kwok K. Ng. Physics of Semiconductor Devices. 3.ª ed., Wiley, 2007. La referencia de consulta, con las curvas de movilidad y resistividad medidas.