Física de semiconductores
Cada contenido de esta materia dejó una pieza servida para este: el fotón, el efecto túnel, la estadística de Fermi-Dirac, el principio de Pauli. Acá se arman todas juntas en la banda prohibida y el nivel de Fermi, que son de donde sale un diodo.
01De los niveles atómicos a las bandas
La unidad de los modelos atómicos terminó con una idea pendiente: cuando \( 10^{22} \) átomos se juntan en un cristal, Pauli obliga a que el nivel atómico único de cada uno se desdoble en tantos niveles como átomos hay, tan pegados entre sí que forman una banda continua de energías permitidas. Entre dos bandas permitidas puede haber una banda prohibida, de ancho \( E_g \), donde no existe ningún estado posible. De cómo esté ese esquema depende toda la electricidad de un material.
| Material | Bandas | \( E_g \) | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| Conductor | La banda de valencia está parcialmente llena, o se solapa con la de conducción | — | Cobre, aluminio |
| Semiconductor | Banda de valencia llena, banda prohibida angosta: la agitación térmica alcanza para cruzarla | 0,5 a 1,5 eV | Silicio 1,12 eV · germanio 0,66 eV · arseniuro de galio 1,42 eV |
| Aislante | Banda de valencia llena, banda prohibida ancha: casi nadie la cruza | > 4 eV | Diamante, 5,5 eV |
La diferencia entre un semiconductor y un aislante no es de naturaleza, es de tamaño de \( E_g \) comparado con \( kT \): a temperatura ambiente, \( kT \approx 26 \) meV, un \( E_g \) de 1,1 eV ya permite que una fracción —chica, pero no nula— de electrones cruce solos.
02La masa efectiva
Adentro de un cristal, un electrón no siente solo la fuerza externa: siente también el potencial periódico de todos los núcleos. El resultado neto se puede resumir, para la mayoría de los cálculos, en un solo número: la masa efectiva \( m^* \), que reemplaza a \( m_e \) en \( F=m^*a \) y hace que el electrón de un cristal se comporte como una partícula libre, pero más liviana o más pesada según la curvatura de su banda de energía.
| Material | \( m^*_e / m_e \) (electrones) | \( m^*_h / m_e \) (huecos) |
|---|---|---|
| Silicio | 0,26 | 0,39 |
| Germanio | 0,12 | 0,30 |
| Arseniuro de galio | 0,067 | 0,45 |
El electrón del arseniuro de galio pesa, a efectos prácticos, quince veces menos que uno libre. Responde más rápido a un campo eléctrico y alcanza mayor velocidad antes de chocar contra la red: por eso el GaAs se usa en los transistores de más alta frecuencia, aunque sea más caro y más difícil de trabajar que el silicio.
03Portadores intrínsecos y la ley de acción de masas
En un cristal puro —sin ninguna impureza agregada—, la agitación térmica cruza algunos electrones de la banda de valencia a la de conducción. Cada electrón que cruza deja atrás un hueco: un estado vacío que se comporta, para casi todos los efectos, como una carga positiva móvil. La concentración de cada uno, en ese material puro, es la concentración intrínseca \( n_i \).
Elegís material, tipo de dopado y concentración; el diagrama de bandas ubica el nivel de Fermi y el panel calcula \( n \), \( p \) y \( n_i \) verificando la ley de acción de masas en cada caso.
04Dopado y el nivel de Fermi
Agregar impurezas —fósforo para donar electrones, boro para aceptarlos, en el silicio— no cambia \( n_i \), que depende solo del material y la temperatura. Lo que cambia es cuánto se aparta \( n \) de \( p \), y con eso, dónde cae el nivel de Fermi respecto del punto medio de la banda prohibida, \( E_i \).
El mismo cálculo explica por qué un dispositivo semiconductor deja de funcionar si se calienta demasiado: \( n_i \) crece exponencialmente con \( T \), y llega un punto —la temperatura intrínseca— en el que supera a la concentración de dopado. A partir de ahí el material se olvida de que fue dopado y se comporta como intrínseco: el germanio, con su banda prohibida angosta, llega a esa temperatura bastante antes que el silicio, y es una de las razones por las que el germanio prácticamente desapareció de la electrónica moderna.
05El final del puente
Esta unidad cierra la materia donde el docstring de su plan de estudios prometía: en el silicio. Cada contenido anterior aportó una pieza que este último usa sin volver a explicarla. El fotón de la unidad del efecto fotoeléctrico es la luz que un fotodiodo convierte en corriente cruzando esta misma banda prohibida. El efecto túnel de la barrera es la fuga del óxido de compuerta de un MOSFET. La estadística de Fermi-Dirac de la unidad anterior es, literalmente, la fórmula \( n = N_c e^{-(E_c-E_F)/kT} \) que se acaba de usar en el laboratorio de esta página. Y el principio de exclusión de Pauli, dos unidades atrás, es la razón última de que existan bandas en lugar de niveles sueltos.
Un diodo es una unión entre una región dopada n y una p, con sus niveles de Fermi obligados a igualarse en equilibrio. Un transistor bipolar son dos uniones así, espalda con espalda. Un MOSFET controla, con un campo eléctrico, cuántos portadores hay disponibles en una región del cristal. Ninguna de esas tres frases tiene sentido sin la banda prohibida, el nivel de Fermi y la ley de acción de masas de esta página.
06En el laboratorio
Con el laboratorio de esta página, para silicio dopado tipo n a \( 10^{17} \) cm⁻³, anotar \( n \) y \( p \). Verificar a mano que \( n\,p = n_i^2 \) y calcular cuántos órdenes de magnitud separan a los portadores mayoritarios de los minoritarios.
Subir la temperatura hasta que \( n_i \) del germanio se acerque a \( 10^{16} \) cm⁻³. Repetir para el silicio. Comparar las dos temperaturas y explicar por qué los diodos de germanio fallan antes con el calor.
Calcular \( E_F - E_i \) para silicio dopado tipo p a \( 10^{15} \), \( 10^{17} \) y \( 10^{19} \) cm⁻³. Graficar contra el logaritmo de la concentración y verificar que la relación es lineal.
07Errores frecuentes
- Pensar que dopar cambia \( n_i \). \( n_i \) depende solo del material y la temperatura; dopar cambia \( n \) y \( p \) por separado, no su producto.
- Olvidar la ley de acción de masas al calcular el portador minoritario. Una vez que se conoce el mayoritario, el minoritario sale directo de \( p = n_i^2/n \).
- Confundir masa efectiva con la masa real del electrón. Es un parámetro que resume el efecto del cristal, y puede ser mayor, menor o —en algunas bandas— hasta negativa.
- Creer que el nivel de Fermi es un nivel de energía ocupado. En un semiconductor típicamente cae en plena banda prohibida, donde no hay ningún estado.
- Ignorar la dependencia de \( n_i \) con la temperatura al diseñar un circuito. Es exponencial, y es la causa de buena parte de las fallas térmicas en electrónica de potencia.
- Pensar que el germanio es inferior al silicio en todo. Su \( n_i \) más alto es una desventaja térmica, pero su banda prohibida angosta también da una caída de tensión directa menor, útil en algunos diodos de señal.
08Autoevaluación
¿Qué distingue a un semiconductor de un aislante?
El tamaño de la banda prohibida \( E_g \): angosta en el semiconductor (la agitación térmica la cruza), ancha en el aislante.
¿Qué representa la masa efectiva?
El efecto neto del potencial periódico del cristal sobre el electrón, resumido en un solo número que reemplaza a la masa real en \( F=m^*a \).
¿Qué dice la ley de acción de masas?
Que el producto \( n\,p = n_i^2 \) es constante en equilibrio térmico, para un material y una temperatura dados, con dopado o sin él.
¿Qué le pasa al nivel de Fermi al dopar tipo n?
Sube desde el punto medio de la banda prohibida hacia la banda de conducción.
¿Por qué un dispositivo semiconductor puede dejar de funcionar si se calienta demasiado?
Porque \( n_i \) crece exponencialmente con la temperatura y, pasada la temperatura intrínseca, supera a la concentración de dopado: el material deja de comportarse como extrínseco.
¿Por qué el arseniuro de galio se usa en transistores de alta frecuencia?
Porque su masa efectiva electrónica es mucho menor que la del silicio, así que sus electrones responden más rápido a un campo eléctrico.
09Para ampliar
- Simon M. Sze y Kwok K. Ng. Physics of Semiconductor Devices. 3.ª ed., Wiley, 2007. El libro de referencia de toda esta unidad: bandas, masa efectiva, estadística de portadores y ley de acción de masas, con las tablas de constantes de cada material.
- Ben G. Streetman y Sanjay Banerjee. Solid State Electronic Devices. 7.ª ed., Pearson, 2014. Una introducción más gradual a los mismos temas, pensada para el primer curso de dispositivos que sigue a esta materia.
- Charles Kittel. Introduction to Solid State Physics. 8.ª ed., Wiley, 2004. El origen de la estructura de bandas a partir del cristal, con el detalle que esta unidad da por sabido.
- Robert F. Pierret. Semiconductor Device Fundamentals. Addison-Wesley, 1996. El tratamiento clásico del nivel de Fermi y la temperatura intrínseca, con los gráficos de \( n_i(T) \) de los materiales más usados.