Mecánica estadística clásica y cuántica
La teoría clásica de los electrones en un metal fallaba por casi dos órdenes de magnitud, y tardó veintisiete años en saberse por qué: Pauli les prohíbe a casi todos moverse. El nivel de Fermi que sale de ahí es la idea central de la unidad que cierra esta materia.
01Por qué hace falta una física estadística
Un centímetro cúbico de cobre tiene del orden de \( 10^{23} \) electrones libres. Ni la mecánica de Newton ni la ecuación de Schrödinger están pensadas para seguirle la pista a cada uno: hace falta una descripción que diga, en cambio, qué fracción de esos electrones ocupa cada nivel de energía disponible. Esa es la mecánica estadística, y la unidad anterior dejó planteada la pregunta que la hace distinta para electrones que para cualquier otra cosa: el principio de exclusión de Pauli prohíbe que dos electrones compartan el mismo estado.
02La distribución clásica y por qué falla para los electrones
Antes de Pauli, Drude (1900) trató a los electrones de un metal como un gas clásico: partículas distinguibles, sin límite a cuántas comparten un estado, distribuidas según Maxwell-Boltzmann.
La predicción falla por un factor cercano a cien: los electrones de un metal real aportan mucha menos capacidad calorífica de la que el modelo clásico exige. El error no era de detalle, era conceptual, y tardó veintisiete años en resolverse.
03Fermi-Dirac: lo que impone Pauli
Sommerfeld resolvió el problema en 1927 aplicando Pauli al pie de la letra. Si dos electrones no pueden compartir estado, la mayoría queda «atrapada» muy por debajo del tope de energía: no puede absorber un poquito de energía térmica porque el estado vecino, apenas más arriba, ya está ocupado. Solo los electrones cerca del tope tienen estados vacíos disponibles cerca para saltar.
Elegís el metal —cambia \( E_F \)— y la temperatura. La curva de Fermi-Dirac se ve casi vertical porque \( kT \) es minúsculo comparado con \( E_F \): esa es, en una imagen, la razón del error del modelo clásico.
04Bose-Einstein: cuando compartir estado no está prohibido
Los fotones —y en general las partículas de espín entero, los bosones— no obedecen a Pauli: cualquier cantidad de ellos puede ocupar exactamente el mismo estado, y de hecho tienden a hacerlo. Esa es la estadística de Bose-Einstein, y ya apareció dos veces en esta materia sin nombrarse: la ley de Planck del cuerpo negro es la distribución de Bose-Einstein aplicada a los fotones de una cavidad, y un condensado de Bose-Einstein —el átomo de helio ultrafrío del contenido de de Broglie— es el caso extremo, con una fracción macroscópica de átomos en el mismo estado cuántico.
Maxwell-Boltzmann, Fermi-Dirac y Bose-Einstein comparten la misma forma exponencial en el límite de alta energía —lejos de \( E_F \), la de Fermi-Dirac se reduce a la clásica— y difieren solo en cómo tratan la posibilidad de compartir estado: prohibida para fermiones, libre para bosones, y la pregunta ni se plantea si las partículas son distinguibles. La que corresponde usar depende exclusivamente del espín de la partícula que se está contando.
05Dónde aparece en la electrónica
Todo lo que hace un metal o un semiconductor conductor —o aislante— depende de dónde cae \( E_F \) respecto de las bandas permitidas, y de cuántos electrones tiene la cola de Fermi-Dirac por encima de esa banda. La próxima y última unidad de esta materia se apoya enteramente en esto.
El mismo razonamiento, aplicado a un semiconductor en lugar de a un metal, es la próxima unidad: cuántos electrones cruzan la banda prohibida hacia la banda de conducción depende de dónde está \( E_F \) y de la cola de Fermi-Dirac a la temperatura de trabajo.
06En el laboratorio
Calcular la temperatura de Fermi \( T_F = E_F/k \) del cobre y compararla con la temperatura ambiente. Explicar por qué esa comparación justifica usar Fermi-Dirac y no Maxwell-Boltzmann.
Con el laboratorio de esta página, medir a qué distancia de \( E_F \) la ocupación cae del 90 % al 10 %, a 300 K y a 1000 K. Verificar que el resultado es proporcional a \( kT \).
Con la ecuación de Richardson-Dushman, calcular la densidad de corriente de un cátodo de wolframio (\( \varphi = 4{,}5 \) eV) a 1000 K, 2000 K y 2700 K —temperatura típica de funcionamiento— y comparar los tres resultados.
07Errores frecuentes
- Aplicar Maxwell-Boltzmann a los electrones de un metal. Es la estadística correcta para un gas clásico diluido, no para fermiones degenerados.
- Creer que \( E_F \) es la energía máxima que puede tener un electrón. A \( T>0 \) siempre hay una fracción, pequeña, por encima de \( E_F \).
- Pensar que \( f_{FD}(E_F) \) depende de la temperatura. Vale 1/2 siempre, por definición del nivel de Fermi.
- Confundir el nivel de Fermi con un nivel de energía real ocupado. Puede caer justo en una banda prohibida, donde no hay ningún estado —es exactamente lo que pasa en un semiconductor intrínseco.
- Usar la estadística de Bose-Einstein para electrones, o Fermi-Dirac para fotones. El espín de la partícula decide cuál corresponde, sin excepciones.
- Olvidar que Fermi-Dirac y Maxwell-Boltzmann coinciden lejos de \( E_F \). La estadística clásica no está «mal»: es el límite de la cuántica cuando la ocupación es baja.
08Autoevaluación
¿Por qué la teoría clásica de Drude predice mal la capacidad calorífica de los electrones en un metal?
Porque supone que cualquier electrón puede absorber energía térmica libremente, cuando Pauli se lo impide a casi todos: solo los que están cerca de \( E_F \) tienen estados vacíos disponibles.
¿Qué representa el nivel de Fermi \( E_F \)?
La energía donde la probabilidad de ocupación de Fermi-Dirac vale exactamente 1/2, a cualquier temperatura.
¿Cómo se ve \( f_{FD}(E) \) a \( T=0 \)?
Como un escalón perfecto: ocupación 1 para todo \( E
¿Qué distingue a Bose-Einstein de Fermi-Dirac?
Que los bosones no obedecen el principio de exclusión: cualquier cantidad puede ocupar el mismo estado, mientras que los fermiones lo tienen prohibido.
¿Qué le pasa a la distribución de Planck del cuerpo negro, vista desde esta unidad?
Es la estadística de Bose-Einstein aplicada a los fotones de una cavidad térmica.
¿Qué parte de la distribución de Fermi-Dirac explica la emisión termoiónica?
La cola de alta energía, muy por encima de \( E_F \), donde \( f_{FD} \) ya se parece a la exponencial clásica: los pocos electrones ahí tienen energía suficiente para escapar del metal.
09Para ampliar
- Charles Kittel. Introduction to Solid State Physics. 8.ª ed., Wiley, 2004. La tabla de energías de Fermi de los metales y la deducción completa del modelo de Sommerfeld.
- Neil W. Ashcroft y N. David Mermin. Solid State Physics. Cengage, 1976. El capítulo 2 desarrolla el gas de Sommerfeld y compara punto por punto con la teoría clásica de Drude.
- Robert Eisberg y Robert Resnick. Física cuántica: átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas. Limusa. Las tres estadísticas —Maxwell-Boltzmann, Fermi-Dirac y Bose-Einstein— presentadas una junto a la otra, con el mismo enfoque de toda la materia.
- Simon M. Sze y Kwok K. Ng. Physics of Semiconductor Devices. 3.ª ed., Wiley, 2007. El capítulo 1 aplica Fermi-Dirac a semiconductores, el puente directo hacia el último contenido de esta materia.