Modelos atómicos y Schrödinger
El electromagnetismo clásico predice que ningún átomo puede durar más de dieciséis picosegundos. Resolver esa contradicción llevó de Bohr a Schrödinger a Pauli, y terminó explicando por qué un cristal tiene bandas de energía en lugar de niveles sueltos.
01El átomo que la física clásica no podía sostener
El experimento de dispersión de Rutherford (1911) —partículas alfa contra una lámina de oro, con algunas rebotando hacia atrás— tiró abajo el modelo del «budín de pasas» de Thomson y dejó un átomo con casi toda su masa y toda su carga positiva concentrada en un núcleo diminuto, con los electrones girando alrededor. El problema es que ese átomo, calculado con el electromagnetismo clásico, no puede existir.
Una carga que acelera irradia energía —es la misma física que hace funcionar una antena—, y un electrón en órbita acelera todo el tiempo, aunque sea a velocidad constante, porque cambia de dirección. Radiando energía, iría perdiendo radio en espiral hasta caer al núcleo.
02El átomo de Bohr
En 1913, Bohr resolvió el problema por decreto: postuló que el electrón solo puede ocupar ciertas órbitas, aquellas donde su cantidad de movimiento angular es un múltiplo entero de \( \hbar \), y que en esas órbitas —y solo en esas— no irradia. Solo emite luz al saltar de una órbita a otra, y esa luz sale como un fotón con la energía exacta de la diferencia.
El postulado no tenía —en 1913— ninguna justificación de fondo; era una regla que funcionaba. La justificó Schrödinger doce años después, cuando la cuantización de \( L \) salió sola de exigir que la función de onda del electrón encajara sin discontinuidades alrededor del núcleo, ni una hipótesis más.
Elegís la serie y el nivel de partida; el diagrama de niveles marca la transición y calcula la longitud de onda exacta del fotón emitido.
03El átomo de Schrödinger: orbitales, no órbitas
El modelo de Bohr predice bien el hidrógeno y falla con cualquier átomo de más de un electrón. Resolver la ecuación de Schrödinger en tres dimensiones para el átomo de hidrógeno da algo distinto de una órbita: una nube de probabilidad, \( |\psi|^2 \), que describe dónde es más probable encontrar al electrón, sin que tenga una trayectoria definida. De esa solución salen, sin pedirlos, cuatro números cuánticos.
| Número cuántico | Qué fija | Valores posibles |
|---|---|---|
| Principal, \( n \) | La energía (aproximadamente, como en Bohr) | 1, 2, 3… |
| Orbital, \( l \) | La forma de la nube: \( l=0 \) esférica (s), \( l=1 \) con dos lóbulos (p)… | 0 a \( n-1 \) |
| Magnético, \( m_l \) | La orientación espacial de esa forma | \( -l \) a \( l \) |
| De espín, \( m_s \) | Un grado de libertad interno del electrón, sin análogo clásico | \( +\tfrac12 \) o \( -\tfrac12 \) |
El espín no sale de la ecuación de Schrödinger —hace falta la versión relativista de Dirac para deducirlo— pero hace falta agregarlo a mano para que el modelo cuadre con lo que se observa: cada orbital admite exactamente dos electrones, uno de cada espín.
04El principio de exclusión de Pauli
En 1925, Pauli enunció la regla que ordena todo lo anterior: dos electrones de un mismo átomo nunca pueden tener los cuatro números cuánticos iguales. Como consecuencia, cada orbital —cada combinación de \( n, l, m_l \)— admite como máximo dos electrones, y solo si tienen espín opuesto. Esa sola regla arma la tabla periódica entera: los electrones de un átomo se van acomodando en capas y subcapas, de la más baja energía hacia arriba, hasta agotar los electrones disponibles.
Sin el principio de Pauli, todos los electrones de un átomo —de cualquier átomo, del cuerpo entero— caerían al estado de menor energía, el orbital 1s. La materia tal como existe, con volumen y con química, depende de que eso esté prohibido: los electrones se apilan hacia arriba en energía porque no tienen otra opción. La misma idea, llevada a un cristal, es la que en la próxima unidad va a explicar por qué un metal tiene electrones libres hasta una energía bien definida —el nivel de Fermi— y ni uno más arriba a temperatura cero.
05Dónde aparece en la electrónica
Cuando muchos átomos se juntan para formar un cristal, el principio de Pauli obliga a algo notable: como ningún electrón del cristal puede repetir el estado de otro, el nivel atómico único de cada átomo aislado —digamos, el 3s del silicio— se desdobla en tantos niveles ligeramente distintos como átomos hay en el cristal. Con \( 10^{22} \) átomos por centímetro cúbico, esos niveles quedan tan pegados entre sí que forman, a efectos prácticos, una banda continua de energía permitida.
| Concepto de este contenido | Adónde lleva |
|---|---|
| Niveles discretos de un átomo aislado | Bandas de energía de un cristal (próximas dos unidades) |
| Electrones apilados por Pauli hasta cierta energía | Nivel de Fermi: la frontera entre lleno y vacío en un metal o semiconductor |
| Capa de valencia del átomo (los orbitales más externos) | Banda de valencia; los cuatro electrones de valencia del silicio arman sus cuatro enlaces covalentes |
| Orbitales vacíos de mayor energía | Banda de conducción: adonde tiene que saltar un electrón para conducir |
Ningún concepto de un semiconductor —banda prohibida, nivel de Fermi, portador de carga— tiene sentido sin este contenido detrás. Es el eslabón que faltaba entre «un átomo tiene electrones en capas» y «un cristal tiene electrones en bandas».
06En el laboratorio
Calcular las cuatro primeras longitudes de onda de la serie de Balmer y compararlas con los valores medidos (Hα 656,3 nm, Hβ 486,1 nm, Hγ 434,0 nm, Hδ 410,2 nm). Identificar el color de cada una.
Con la regla de llenado por energía creciente y el principio de Pauli, escribir la configuración electrónica del silicio (\( Z=14 \)) y del germanio (\( Z=32 \)). Identificar cuántos electrones de valencia tiene cada uno.
Calcular la energía de ionización que predice el modelo de Bohr para el helio ionizado una vez (\( \text{He}^+ \), un solo electrón, \( Z=2 \)) y compararla con el valor medido de 54,4 eV.
07Errores frecuentes
- Pensar que el electrón «orbita» como un planeta. El modelo de Schrödinger da una nube de probabilidad, no una trayectoria; el de Bohr, aunque útil, ya estaba superado en eso desde 1926.
- Aplicar el modelo de Bohr a átomos con más de un electrón. Solo es exacto para sistemas de un electrón: hidrógeno y iones como \( \text{He}^+ \) o \( \text{Li}^{2+} \).
- Confundir número cuántico principal con cantidad de electrones. \( n \) organiza niveles de energía; cuántos electrones hay hasta ahí lo decide Pauli.
- Olvidar el espín al contar la capacidad de un orbital. Cada orbital son dos electrones, no uno.
- Creer que Pauli aplica solo a electrones de un mismo átomo. La versión general —para cualquier conjunto de fermiones que comparten un sistema cuántico, como los electrones de un cristal entero— es la que arma las bandas de energía.
- Pensar que la inestabilidad clásica del átomo es solo una curiosidad histórica. Es la pregunta que la mecánica cuántica entera tuvo que responder para poder existir como teoría.
08Autoevaluación
¿Por qué el átomo clásico de Rutherford no puede ser estable?
Porque una carga en órbita acelera constantemente y, por electromagnetismo clásico, debería irradiar energía y caer en espiral al núcleo en cuestión de picosegundos.
¿Qué postuló Bohr para evitar ese colapso?
Que el electrón solo puede ocupar órbitas con cantidad de movimiento angular cuantizada, \( L = n\hbar \), y que en esas órbitas no irradia.
¿Qué reemplaza a la órbita en el modelo de Schrödinger?
Una nube de probabilidad, el orbital, descrita por cuatro números cuánticos: \( n, l, m_l, m_s \).
¿Qué dice el principio de exclusión de Pauli?
Que dos electrones de un mismo sistema cuántico nunca pueden tener los cuatro números cuánticos iguales, así que cada orbital admite como máximo dos electrones con espín opuesto.
¿Qué pasaría con la materia sin el principio de Pauli?
Todos los electrones caerían al estado de menor energía; no habría capas, ni tabla periódica, ni química como la conocemos.
¿Por qué los niveles atómicos se convierten en bandas dentro de un cristal?
Porque Pauli prohíbe que dos electrones del cristal compartan el mismo estado: el nivel único de cada átomo aislado se desdobla en tantos niveles como átomos hay, tan juntos entre sí que forman una banda continua.
09Para ampliar
- Robert Eisberg y Robert Resnick. Física cuántica: átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas. Limusa. Los capítulos sobre el átomo de Bohr, la solución de Schrödinger para el hidrógeno y el principio de Pauli, con el mismo rigor de toda la unidad.
- Niels Bohr. On the Constitution of Atoms and Molecules. Philosophical Magazine, vol. 26, 1913. El trabajo original donde postula la cuantización del momento angular, sin más justificación que «funciona».
- Wolfgang Pauli. Über den Zusammenhang des Abschlusses der Elektronengruppen im Atom mit der Komplexstruktur der Spektren. Zeitschrift für Physik, vol. 31, 1925. El artículo del principio de exclusión, escrito antes de que existiera el concepto moderno de espín.
- Charles Kittel. Introduction to Solid State Physics. 8.ª ed., Wiley, 2004. El capítulo inicial conecta explícitamente los niveles atómicos con las bandas de un cristal: el puente exacto hacia las próximas dos unidades.