Física Electrónica · 120 h · Contenido 6 de 9

Mecánica cuántica: escalón, barrera y pozo

Un electrón puede aparecer del otro lado de una pared que, según toda la física clásica, no debería poder cruzar. Ese resultado no es una curiosidad de laboratorio: es la razón por la que un chip no se puede adelgazar más allá de cierto límite.

Schrödinger Efecto túnel Pozo infinito Oscilador armónico MOSFET

01La ecuación que reemplaza a Newton

Si una partícula es también una onda, tiene que existir una ecuación que gobierne esa onda, igual que la segunda ley de Newton gobierna una trayectoria. Esa ecuación la escribió Schrödinger en 1926, apoyándose directamente en la hipótesis de de Broglie del contenido anterior. En su forma independiente del tiempo:

\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + V(x)\,\psi = E\,\psi \] \( \psi(x) \) es la función de onda; \( |\psi|^2 \) da la densidad de probabilidad de encontrar a la partícula en cada punto. Distintas formas de \( V(x) \) —un escalón, una barrera, un pozo, un resorte— dan comportamientos completamente distintos, y son los cuatro casos de este contenido.

Ninguno de los cuatro casos tiene solución exacta con la mecánica clásica. Los cuatro sí la tienen con esta ecuación, y los cuatro terminan siendo el modelo de un dispositivo real.

02El escalón: reflexión donde no debería haberla

Una partícula clásica con energía \( E \) mayor que un escalón de potencial \( V_0 \) siempre lo pasa, solo que más lenta. La ecuación de Schrödinger da otra respuesta: parte de la onda se refleja, exactamente como la luz se refleja parcialmente al cambiar de medio.

\[ R = \left(\frac{k_1 - k_2}{k_1 + k_2}\right)^2 \qquad k = \frac{\sqrt{2m(E-V)}}{\hbar} \] Un electrón con \( E = 2 \) eV frente a un escalón de \( V_0 = 1 \) eV refleja el 2,9 % de las veces, aunque le sobra energía de sobra para pasar. Clásicamente ese 2,9 % es imposible.

Es el mismo mecanismo, en miniatura, que hace que un electrón se frene y en parte rebote al entrar a una región con distinto potencial dentro de un cristal: cada interfaz de un dispositivo semiconductor es, en este sentido, un escalón.

03La barrera: el efecto túnel

Si el escalón tiene un ancho finito \( L \) y después vuelve a bajar, aparece el resultado más radical de los cuatro: con \( E < V_0 \) —lo que la física clásica prohíbe sin excepción— la partícula tiene una probabilidad no nula de aparecer del otro lado. La función de onda no se corta de golpe dentro de la barrera: decae exponencialmente, y si la barrera es angosta, todavía queda algo de onda cuando termina.

\[ T \approx e^{-2\kappa L} \qquad \kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar} \;\Longrightarrow\; \kappa[\text{Å}^{-1}] \approx 0{,}512\sqrt{V_0-E\;[\text{eV}]} \] Fórmula válida para barreras «opacas» (\( \kappa L \gg 1 \)), que es el caso de todos los dispositivos reales de esta página. \( T \) cae exponencialmente con \( L \): por eso un angstrom de diferencia cambia la corriente túnel en un orden de magnitud.

Laboratorio · la barrera y el efecto túnel

Tres dispositivos reales, tres alturas de barrera distintas, la misma fórmula. Movés el ancho y mirás cuántos órdenes de magnitud cambia la probabilidad de túnel.

Ancho de la barrera = 6,0 Å

04El pozo infinito y el oscilador armónico: energías cuantizadas

Confinar una partícula entre dos paredes infinitas —un pozo de ancho \( L \)— exige que la función de onda se anule en los bordes, igual que una cuerda de guitarra fija en los dos extremos. Eso permite solo ciertas longitudes de onda, y por lo tanto solo ciertas energías.

\[ E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}, \quad n = 1,2,3,\ldots \] Un electrón confinado a 1 nm —el tamaño de un punto cuántico— tiene \( E_1 = 0{,}376 \) eV y \( E_2 = 1{,}50 \) eV: los niveles no son equiespaciados, crecen como \( n^2 \). Note que ni siquiera \( n=1 \) da energía cero: es la misma energía de punto cero de la unidad anterior, vista desde otro modelo.

El oscilador armónico —un potencial en forma de parábola, el modelo de cualquier vibración pequeña, de un resorte a un átomo en una red cristalina— da un resultado distinto pero igual de cuantizado:

\[ E_n = \left(n+\tfrac12\right)\hbar\omega, \quad n = 0,1,2,\ldots \] Acá los niveles sí son equiespaciados, cada uno a \( \hbar\omega \) del siguiente. Un fonón óptico típico del silicio tiene \( \hbar\omega \approx 63 \) meV, con una energía de punto cero de 31,5 meV que la red nunca pierde, ni en el cero absoluto.

05Dónde aparece en la electrónica

Dispositivo	Qué usa	Consecuencia
Microscopio de efecto túnel (STM)	Túnel a través del vacío	Resolución atómica: la corriente cambia un orden de magnitud por angstrom
MOSFET de nodo avanzado	Túnel a través del óxido de compuerta	Puso un límite físico —no de fabricación— al adelgazamiento del óxido de SiO₂ bajo 1,2 nm
Diodo túnel (Esaki)	Túnel a través de una unión pn muy dopada	Resistencia negativa: la corriente baja al subir la tensión, en un tramo
Memoria flash	Túnel Fowler-Nordheim (barrera triangular, con campo)	Escribe y borra sin partes móviles, atravesando el mismo óxido que limita al MOSFET
Unión SIS (superconductor-aislante-superconductor)	Túnel a través de un óxido de 1-2 nm	Espectroscopía de la brecha superconductora (Giaever, 1960) y base de los SQUID

El muro que encontró la industria del chip

Durante veinte años, achicar un transistor fue sobre todo un problema de litografía. Alrededor de 2005 dejó de serlo: con el óxido de compuerta en 1,2 nm —unos cuatro átomos de espesor— la corriente de fuga por efecto túnel se volvía comparable a la corriente útil del transistor. No hacía falta una fábrica mejor; hacía falta otra física. La solución fue reemplazar el SiO₂ por dieléctricos de constante dieléctrica más alta (high-k), que permiten la misma capacidad con una capa más gruesa y menos túnel.

06En el laboratorio

Actividad 1 · La reflexión en un escalón

Calcular el coeficiente de reflexión \( R \) de un electrón con \( E = 3 \) eV frente a escalones de 0,5, 1 y 2 eV. Verificar que \( R \to 0 \) cuando \( V_0 \to 0 \) y que crece con la altura del escalón.

Actividad 2 · Sensibilidad de la corriente túnel

Con el laboratorio de esta página, calcular en cuántas décadas cambia \( T \) al mover 2 Å el ancho de la barrera, para los tres dispositivos. Relacionar el resultado con por qué un STM necesita aislar vibraciones de picómetros.

Actividad 3 · Un punto cuántico

Calcular las tres primeras energías permitidas de un electrón confinado en un pozo infinito de 2, 5 y 10 nm. Graficar \( E_1 \) contra el ancho y explicar por qué los puntos cuánticos más chicos emiten luz de mayor energía (más azul).

07Errores frecuentes

Creer que con \( E > V_0 \) nunca hay reflexión. Cuánticamente siempre hay algo, aunque sea pequeña.
Pensar que el efecto túnel viola la conservación de la energía. La partícula que atraviesa conserva su energía \( E \); lo que cambia es que la probabilidad de encontrarla del otro lado ya no es cero.
Usar la fórmula \( T \approx e^{-2\kappa L} \) con barreras muy angostas o muy bajas. Solo vale si \( \kappa L \gg 1 \); si no, hace falta la fórmula completa.
Olvidar la energía de punto cero del pozo y del oscilador. Ninguno de los dos permite energía cero, ni siquiera en el estado fundamental.
Confundir el túnel Fowler-Nordheim (con campo, barrera triangular) con el túnel simple de barrera rectangular. Son parientes, no la misma cuenta.
Pensar que el límite del óxido de compuerta fue un problema de fabricación. Fue un límite físico: el túnel existe aunque el óxido esté perfecto.

08Autoevaluación

¿Qué predice la mecánica cuántica en un escalón de potencial con \( E > V_0 \)?

Que parte de la onda se refleja, algo que la mecánica clásica no permite si la partícula tiene energía de sobra.

¿De qué depende más fuertemente la probabilidad de túnel?

Del ancho de la barrera: \( T \) cae exponencialmente con \( L \), así que un angstrom de diferencia puede cambiarla en un orden de magnitud.

¿Por qué la industria del chip dejó de poder adelgazar el óxido de compuerta de SiO₂?

Porque por debajo de 1,2 nm la corriente de fuga por efecto túnel se vuelve comparable a la corriente útil del transistor: es un límite físico, no de fabricación.

¿Qué tienen en común las energías de un pozo infinito y de un oscilador armónico?

Las dos están cuantizadas y ninguna permite energía cero: ambas tienen una energía de punto cero en su estado fundamental.

¿En qué se diferencian los espaciados de energía del pozo y del oscilador?

En el pozo los niveles crecen como \( n^2 \), cada vez más separados; en el oscilador son equiespaciados, cada uno a \( \hbar\omega \) del anterior.

¿Qué mide un microscopio de efecto túnel?

La corriente que tunelea a través del vacío entre una punta y una superficie; como esa corriente depende exponencialmente de la distancia, resuelve relieves de tamaño atómico.

09Para ampliar

Robert Eisberg y Robert Resnick. Física cuántica: átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas. Limusa. Los cuatro potenciales de este contenido, resueltos paso a paso con la ecuación de Schrödinger.
C. Julian Chen. Introduction to Scanning Tunneling Microscopy. 2.ª ed., Oxford University Press, 2008. La fórmula \( \kappa \approx 0{,}512\sqrt{\varphi} \) y su rol en la resolución atómica del STM, del especialista que escribió el libro de referencia del tema.
Simon M. Sze y Kwok K. Ng. Physics of Semiconductor Devices. 3.ª ed., Wiley, 2007. El capítulo del MOSFET desarrolla la fuga por túnel del óxido de compuerta y el límite físico que forzó el cambio a dieléctricos high-k.
Ivar Giaever. Energy Gap in Superconductors Measured by Electron Tunneling. Physical Review Letters, vol. 5, 1960. El experimento que abrió la espectroscopía túnel y le valió el Nobel de 1973.

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