Física I · 120 h · Contenido 7 de 10

Ondas mecánicas

Una onda transporta energía sin transportar materia. La cuerda con un extremo fijo y la línea de transmisión terminada en cortocircuito producen exactamente la misma onda estacionaria.

Ecuación de onda Estacionarias Interferencia Sonido Doppler

01Qué es una onda

Una onda transporta energía y cantidad de movimiento sin transportar materia. Cada partícula del medio oscila alrededor de su posición de equilibrio, y lo que viaja es la perturbación.

Transversal: las partículas oscilan perpendicularmente a la dirección de propagación. Una cuerda, una onda electromagnética.
Longitudinal: oscilan en la misma dirección en la que avanza la onda. El sonido.

La relación fundamental

v = λ \cdot f

La velocidad la fija el medio; la frecuencia, la fuente. La longitud de onda es lo que resulta de las dos. Por eso al pasar de un medio a otro cambia λ pero nunca f.

Medio	Velocidad	De qué depende
Cuerda tensa	v = √(T/μ)	Tensión y masa por unidad de longitud
Aire (sonido, 20 °C)	343 m/s	Temperatura, no presión
Agua	≈ 1500 m/s	Compresibilidad y densidad
Cable coaxial	≈ 0,66·c	Permitividad del dieléctrico

02La ecuación de onda

Una onda armónica que viaja hacia la derecha se escribe:

y (x, t) = A sen (k x - ω t), k = \frac{2 π}{λ}, ω = 2 π f

k es el número de onda y ω la pulsación. Su cociente, ω/k, es la velocidad de propagación.

Y todas ellas son soluciones de una misma ecuación en derivadas parciales:

\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}

La misma ecuación que sale de combinar las de Maxwell, y la misma de las líneas de transmisión.

Esa coincidencia no es casual, y tiene una consecuencia práctica enorme: todo lo que se aprende de una cuerda vale para un cable. Reflexión, impedancia, ondas estacionarias y adaptación son el mismo fenómeno con otras unidades.

03Superposición y ondas estacionarias

Cuando dos ondas coinciden en un punto, las elongaciones se suman. Si dos ondas iguales viajan en sentidos opuestos —lo que ocurre naturalmente cuando una se refleja en un extremo— el resultado ya no avanza: es una onda estacionaria, con puntos que no se mueven nunca, los nodos, y puntos de oscilación máxima, los vientres.

f_{n} = \frac{n v}{2 L}, λ_{n} = \frac{2 L}{n}

Para una cuerda con los dos extremos fijos. Sólo esas frecuencias sobreviven: son los modos propios.

La frecuencia más baja, con n = 1, es la fundamental; las demás son sus armónicos, y la mezcla de sus intensidades es lo que da el timbre de cada instrumento.

Laboratorio · modos de una cuerda con los extremos fijos

Elegí el armónico y movete en el tiempo. Con la casilla se ven las dos ondas viajeras que, al sumarse, producen la estacionaria.

Armónico n = 3

Largo de la cuerda 1,20 m

Velocidad de propagación 120 m/s

Tiempo, en fracción del período 0,00

Ver las dos ondas viajeras que se suman

04Reflexión e interferencia

Extremo	Qué pasa	Equivalente eléctrico
Fijo	La onda vuelve invertida	Línea en cortocircuito
Libre	Vuelve sin invertirse	Línea en circuito abierto
Adaptado	No se refleja nada: toda la energía se absorbe	Carga igual a la impedancia característica

Ese tercer caso es el que se busca siempre en radiofrecuencia, y toda la carta de Smith existe para conseguirlo. La relación de onda estacionaria de una línea mal adaptada es, exactamente, la misma figura de nodos y vientres de la cuerda.

Interferencia y batido

Dos ondas de igual frecuencia se refuerzan si llegan en fase e se anulan si llegan en contrafase: de ahí las cancelaciones de sonido en una sala y los nulos de un diagrama de radiación. Si las frecuencias difieren poco, la amplitud pulsa a la frecuencia diferencia: eso es el batido, y es el principio con el que se afina un instrumento y el que usa un receptor superheterodino para trasladar una señal de frecuencia.

05Sonido y efecto Doppler

El sonido es una onda longitudinal de presión. Su intensidad se mide en escala logarítmica porque el oído responde así:

β = 10 \log \frac{I}{I_{0}} [dB], I_{0} = 10^{- 12} W / m^{2}

El decibel de acústica y el de electrónica son la misma definición: un cociente de potencias en escala logarítmica.

Cuando la fuente o el receptor se mueven, la frecuencia percibida cambia: es el efecto Doppler, f′ = f·(v ± v_obs)/(v ∓ v_fuente). Sobre él funcionan el radar de velocidad, el caudalímetro por ultrasonido y la ecografía Doppler.

06Lo mismo, en electrónica

Líneas de transmisión. Un cable largo comparado con λ no se comporta como un conductor sino como un medio con ondas: hay reflexión, onda estacionaria y adaptación.
Integridad de señal. En una placa digital rápida, una pista sin terminar refleja el flanco y produce escalones y sobrepicos: es una cuerda con el extremo libre.
Antenas. Una antena de media onda es, literalmente, una onda estacionaria de corriente sobre un conductor.
Ultrasonido. Los sensores de distancia miden tiempo de vuelo de un pulso acústico; los de caudal usan Doppler.
Cristales y filtros SAW. Trabajan con ondas acústicas de superficie en un sólido.

07En el laboratorio

Actividad 1 · Modos de una cuerda

Tensar un hilo entre un vibrador y una polea con pesas. Variar la frecuencia hasta ver cada modo y verificar que f_n = n·v/(2L). Cambiar la tensión y comprobar que v = √(T/μ).

Actividad 2 · Velocidad del sonido con un tubo

Con un tubo parcialmente sumergido en agua y un diapasón, buscar las posiciones de resonancia. La distancia entre dos de ellas es λ/2, y con f del diapasón se obtiene la velocidad del sonido.

Actividad 3 · Reflexión en un cable coaxial

Enviar un pulso por unos metros de coaxil con el extremo abierto, en cortocircuito y terminado en 50 Ω, y mirar la reflexión en el osciloscopio. Es la actividad que cierra el círculo: las tres filas de la tabla de reflexión, medidas.

08Errores frecuentes

Creer que la onda transporta materia. Transporta energía; el medio sólo oscila.
Pensar que la frecuencia cambia al cambiar de medio. Cambia λ, porque cambia v.
Confundir la velocidad de propagación con la velocidad de una partícula del medio. Son cosas distintas y de órdenes muy diferentes.
Creer que el sonido viaja más rápido si hay más presión. En un gas ideal depende de la temperatura, no de la presión.
Sumar intensidades en decibeles. Los decibeles no se suman: se suman las potencias.
Contar mal los nodos: el modo n tiene n vientres y n+1 nodos incluyendo los extremos.

09Autoevaluación

Una cuerda de 1,2 m con v = 120 m/s. ¿Cuál es su frecuencia fundamental?

λ₁ = 2L = 2,4 m, así que f₁ = 120/2,4 = 50 Hz. El tercer armónico está en 150 Hz.

¿Cuánto mide λ de una señal de 100 MHz en un coaxil con factor de velocidad 0,66?

v = 0,66·3·10⁸ ≈ 2·10⁸ m/s, así que λ = 2·10⁸/10⁸ = 2 m. Un cuarto de onda son 50 cm.

¿Qué pasa con una onda al reflejarse en un extremo fijo?

Vuelve invertida, con un desfase de 180°. Es el caso de la línea en cortocircuito.

Dos sonidos de 440 y 443 Hz suenan juntos. ¿Qué se escucha?

Un tono de unos 441,5 Hz cuya intensidad pulsa 3 veces por segundo: el batido con el que se afina un instrumento.

Si la potencia de una señal se duplica, ¿cuántos decibeles sube?

10·log(2) ≈ 3 dB, tanto en acústica como en electrónica.

¿Por qué una antena de media onda resuena?

Porque sus extremos abiertos imponen nodos de corriente, y con L = λ/2 la onda reflejada vuelve en fase: se establece una onda estacionaria, igual que en la cuerda.

10Para ampliar

A. P. French. Vibraciones y ondas. Reverté, 1974. El mejor libro sobre el tema para un ingeniero: ondas, modos y superposición desde cero.
Raymond A. Serway y John W. Jewett. Física para ciencias e ingeniería, volumen 1. 9.ª ed., Cengage Learning, 2014. Capítulos 16 a 18: ondas mecánicas, sonido, superposición y ondas estacionarias.
David M. Pozar. Microwave Engineering. 4.ª ed., Wiley, 2011. El capítulo 2 muestra que la línea de transmisión es esta misma ecuación de onda.
Paul A. Tipler y Gene Mosca. Física para la ciencia y la tecnología, volumen 1. 6.ª ed., Reverté, 2010. Buen desarrollo del efecto Doppler y de la escala de decibeles.

← Contenido anterior

Movimiento oscilatorio

Contenido siguiente →

Fluidos en equilibrio