Movimiento oscilatorio
El resorte que oscila y el circuito RLC obedecen la misma ecuación diferencial. Quien entiende uno entiende el otro, y la resonancia mecánica es literalmente la del sintonizador de una radio.
01Movimiento armónico simple
Siempre que una fuerza de restitución sea proporcional al apartamiento y apunte en sentido contrario, el movimiento que resulta es armónico simple. La ley de Hooke, F = −k·x, llevada a la segunda ley da:
| Sistema | Frecuencia angular propia | Condición |
|---|---|---|
| Masa y resorte | ω₀ = √(k/m) | Resorte ideal |
| Péndulo simple | ω₀ = √(g/L) | Ángulos pequeños |
| Péndulo físico | ω₀ = √(m·g·d/I) | Ángulos pequeños |
| Circuito LC | ω₀ = 1/√(L·C) | Sin resistencia |
La energía se intercambia entre cinética y potencial elástica, y su suma se mantiene: E = ½·k·A². En el circuito LC ocurre exactamente lo mismo entre el capacitor y la bobina.
02Oscilaciones amortiguadas
Con una fuerza de rozamiento viscoso proporcional a la velocidad, F = −b·v, la ecuación se completa:
| Régimen | Condición | Comportamiento |
|---|---|---|
| Subamortiguado | b < 2√(m·k) | Oscila con amplitud que decae exponencialmente |
| Crítico | b = 2√(m·k) | Vuelve al reposo en el menor tiempo posible, sin oscilar |
| Sobreamortiguado | b > 2√(m·k) | Vuelve lentamente, sin oscilar |
Q = √(m·k)/b mide cuántas oscilaciones sobreviven antes de que la amplitud caiga apreciablemente. Es el mismo Q de un circuito resonante: alto Q significa poca pérdida, resonancia aguda y selectividad. Un cristal de cuarzo llega a Q de 105, y por eso define la frecuencia de un reloj o de un microcontrolador.
El amortiguamiento crítico es el que se busca en el amortiguador de un auto, en el movimiento de la aguja de un instrumento analógico y en la respuesta de una fuente conmutada: llegar rápido al valor final sin pasarse.
03Oscilaciones forzadas y resonancia
Si además se aplica una fuerza periódica F₀·cos(ωt), pasado el transitorio el sistema oscila a la frecuencia de la excitación, no a la propia, y con una amplitud que depende de qué tan cerca esté una de la otra:
Cuando ω se acerca a ω₀ el denominador se hace chico y la amplitud crece: eso es la resonancia. Con poco amortiguamiento la amplitud puede volverse destructiva —es lo que rompe copas con sonido y lo que obliga a estudiar el viento sobre un puente—, pero bien usada es lo que permite sintonizar una emisora entre todas las que llegan a la antena.
Arriba, la respuesta en el tiempo; abajo, la curva de resonancia. Es el mismo laboratorio que un circuito RLC, con otros nombres.
04La analogía que conviene memorizar
| Mecánico | Eléctrico (RLC serie) | Papel |
|---|---|---|
| Masa m | Inductancia L | Inercia: se opone al cambio |
| Amortiguamiento b | Resistencia R | Disipa energía |
| Constante k | 1/C | Restitución: almacena energía |
| Posición x | Carga q | Variable de estado |
| Velocidad v | Corriente i | Su derivada |
| Fuerza F | Tensión V | Excitación |
| ω₀ = √(k/m) | ω₀ = 1/√(L·C) | Frecuencia propia |
| Q = √(m·k)/b | Q = (1/R)·√(L/C) | Selectividad |
No es una metáfora: las dos ecuaciones diferenciales son idénticas, así que todo lo que se demuestre en un dominio vale en el otro. Quien entendió la respuesta de un resorte ya entendió la de un filtro, y viceversa.
05Dónde aparece en electrónica
- Cristales de cuarzo y resonadores MEMS. Un oscilador mecánico de altísimo Q que define la base de tiempo de casi todo lo digital.
- Filtros y sintonía. La curva de resonancia de este laboratorio es la respuesta en frecuencia de un filtro pasabanda.
- Transductores piezoeléctricos. Los emisores de ultrasonido trabajan en su frecuencia de resonancia mecánica, donde el rendimiento es máximo.
- Montaje antivibratorio. Un equipo embarcado se monta sobre elementos elásticos elegidos para que su frecuencia propia quede lejos de la de excitación.
- Respuesta de una fuente conmutada. El lazo de realimentación se compensa buscando un comportamiento cercano al crítico: rápido pero sin sobrepico.
06En el laboratorio
Cronometrar veinte oscilaciones de un péndulo de longitud conocida y despejar g de T = 2π√(L/g). Repetir con amplitudes de 5° y 30° para ver dónde deja de valer la aproximación.
Medir k estáticamente con pesas, y después dejar oscilar la masa y filmar. Del decaimiento de la amplitud se obtiene b, y con él Q. Verificar que ω₀ medida coincide con √(k/m).
Excitar una lámina en voladizo con un parlante barriendo frecuencias y registrar la vibración con un acelerómetro. Graficar la amplitud contra la frecuencia y medir el ancho de banda a −3 dB: Q = f₀/Δf, la misma definición que en un circuito resonante.
07Errores frecuentes
- Creer que el período de un péndulo depende de la masa. No depende, sólo de la longitud.
- Usar la fórmula del péndulo con amplitudes grandes. Vale mientras senθ ≈ θ.
- Confundir frecuencia f con frecuencia angular ω. ω = 2π·f.
- Suponer que en régimen forzado el sistema oscila a su frecuencia propia. Oscila a la de la excitación; la propia sólo aparece en el transitorio.
- Creer que más amortiguamiento siempre es mejor. Más allá del crítico, la respuesta se vuelve más lenta.
- Pensar que la resonancia es siempre un problema. Sin resonancia no habría radio.
08Autoevaluación
Una masa de 0,5 kg en un resorte de 200 N/m. ¿Cuál es su frecuencia propia?
ω₀ = √(200/0,5) = 20 rad/s, o sea f₀ = 20/2π ≈ 3,18 Hz.
¿Cuánto debe valer b para amortiguamiento crítico en ese sistema?
b = 2√(m·k) = 2√(100) = 20 N·s/m.
¿Cuánto mide un péndulo que tarda 2 s en cada oscilación completa?
L = g·T²/(4π²) = 9,8·4/39,48 ≈ 0,99 m. Es el clásico péndulo de segundos.
¿Cuál es el equivalente eléctrico de la masa?
La inductancia: las dos se oponen a los cambios bruscos de su variable —velocidad y corriente— y guardan energía en la misma forma, ½·m·v² y ½·L·i².
Un sistema tiene Q = 50 y f₀ = 1 kHz. ¿Cuál es su ancho de banda?
Δf = f₀/Q = 20 Hz. El mismo cálculo que para un circuito resonante.
¿Por qué un cristal de cuarzo define tan bien una frecuencia?
Porque su Q altísimo hace que la curva de resonancia sea muy aguda: sólo una banda estrechísima de frecuencias produce oscilación apreciable.
09Para ampliar
- Raymond A. Serway y John W. Jewett. Física para ciencias e ingeniería, volumen 1. 9.ª ed., Cengage Learning, 2014. El capítulo 15 cubre el movimiento armónico, el amortiguado y el forzado.
- A. P. French. Vibraciones y ondas. Reverté, 1974. Un libro entero dedicado al tema, con el paralelo mecánico-eléctrico desarrollado en serio.
- Richard P. Feynman. Física, volumen I. Addison-Wesley / Pearson, 1963. Los capítulos 21 a 24 tratan el oscilador y la resonancia como un solo fenómeno con muchas caras.
- Paul A. Tipler y Gene Mosca. Física para la ciencia y la tecnología, volumen 1. 6.ª ed., Reverté, 2010. Con buenos ejemplos numéricos de factor de calidad y ancho de banda.