Lugares geométricos de impedancia y admitancia
Una recta infinita en el plano de impedancias se convierte en un arco de circunferencia finito en el de admitancias. Con esa sola propiedad se predijo durante décadas el comportamiento de un motor con regla y compás, y de ella sale la carta de Smith.
01Qué es un lugar geométrico
La impedancia de un circuito es un número complejo: un punto del plano. Si uno de sus parámetros cambia —la frecuencia, una resistencia ajustable, la carga de un motor—, ese punto se mueve y dibuja una curva. Esa curva es el lugar geométrico de la impedancia, y mirarla de una vez enseña más que calcular cien valores sueltos: muestra de un vistazo el rango completo de comportamientos posibles del circuito.
Lo notable es que, para los circuitos más comunes, esos lugares son siempre de dos tipos: rectas o circunferencias. Y pasar de la impedancia \( Z \) a la admitancia \( Y = 1/Z \) convierte unas en otras.
02Impedancias serie: rectas
En un circuito serie las impedancias se suman, y si solo cambia uno de los términos, el punto se desplaza en una sola dirección.
| Circuito serie | Parámetro que varía | Lugar de \( Z \) |
|---|---|---|
| RL | \( R \), de 0 a ∞ | Semirrecta horizontal a la altura \( \omega L \) |
| RL | \( \omega \), de 0 a ∞ | Semirrecta vertical hacia arriba, sobre \( \text{Re}\,Z = R \) |
| RC | \( \omega \), de 0 a ∞ | Semirrecta vertical que sube desde \( -j\infty \) hasta \( R \) |
| RLC | \( \omega \), de 0 a ∞ | Recta vertical completa: cruza el eje real en la resonancia |
Del mismo modo, en un circuito paralelo lo que se suman son las admitancias, y son ellas las que dibujan rectas.
03La inversión: de rectas a circunferencias
Tomar el inverso de un número complejo es una transformación con una propiedad geométrica preciosa: una recta que no pasa por el origen se convierte en una circunferencia que sí pasa por el origen, y viceversa. Así, la semirrecta vertical \( Z = R + j\omega L \) de un RL serie se convierte, en admitancia, en una semicircunferencia.
Como la corriente es \( \mathbf{I} = \mathbf{V}\,Y \), con tensión fija la punta del fasor de corriente recorre esa misma circunferencia, escalada. Ese es el diagrama circular que los ingenieros electricistas usaron durante décadas para predecir el comportamiento de un motor de inducción con regla y compás, sin una sola multiplicación compleja.
Circuito RL serie con \( R = 100 \) Ω. Movés la frecuencia: a la izquierda el punto \( Z \) sube por su recta; a la derecha, \( Y = 1/Z \) baja por su semicircunferencia.
04De acá sale la carta de Smith
La carta de Smith es la aplicación más famosa de esta idea. En lugar de invertir \( Z \), transforma la impedancia normalizada con \( \Gamma = (z-1)/(z+1) \), otra transformación del mismo tipo —bilineal—, que también manda rectas y circunferencias a rectas y circunferencias. Por eso las líneas de resistencia constante y de reactancia constante, que en el plano \( Z \) son rectas, en la carta aparecen como las familias de círculos que la hacen reconocible. Todo lo que se hace con la carta —adaptar una antena, calcular un stub— es trabajar con lugares geométricos transformados.
05Dónde aparece en la electrónica
| Caso | Lugar geométrico en juego |
|---|---|
| Adaptación de impedancias en RF | Moverse sobre círculos de la carta de Smith agregando reactancias serie y paralelo |
| Motor de inducción | El diagrama circular de la corriente al variar el deslizamiento |
| Analizador de redes vectorial | Muestra la impedancia de un dispositivo como curva en función de la frecuencia |
| Criterio de Nyquist (control) | El lugar de \( H(j\omega) \) y su posición respecto del punto −1 decide la estabilidad |
06En el laboratorio
Para el RL serie de 100 Ω y 10 mH, calcular la frecuencia en que \( X_L = R \) y verificar con el laboratorio que ahí \( Y \) cae en el punto más bajo de la semicircunferencia, con \( G = B = 5 \) mS.
Dibujar a mano el lugar de \( Y \) de un RC paralelo al variar \( \omega \), y a partir de él deducir el lugar de \( Z \) por inversión.
Con un generador y un osciloscopio, medir módulo y fase de la corriente de un RL serie a diez frecuencias y graficar los puntos en el plano complejo. Comprobar que caen sobre una circunferencia.
07Errores frecuentes
- Esperar una recta en admitancia para un circuito serie. En serie son rectas las impedancias; sus inversas son circunferencias.
- Olvidar que la circunferencia pasa por el origen. Una recta que no pasa por el origen se invierte siempre en una circunferencia que sí pasa.
- Graficar la frecuencia como si fuera un eje. En un lugar geométrico el parámetro no se ve en los ejes: está marcado a lo largo de la curva.
- Confundir el diagrama circular con la carta de Smith. Son parientes, pero la carta usa otra transformación y está normalizada a una impedancia característica.
08Autoevaluación
¿Qué lugar describe \( Z \) de un RL serie al variar la frecuencia?
Una semirrecta vertical sobre \( \text{Re}\,Z = R \), hacia reactancias positivas.
¿En qué se convierte esa recta al pasar a admitancia?
En una semicircunferencia de centro \( 1/2R \) y radio \( 1/2R \), que pasa por el origen.
¿Qué propiedad tiene la inversión compleja?
Transforma rectas y circunferencias en rectas y circunferencias; una recta que no pasa por el origen se vuelve una circunferencia que sí pasa.
¿Qué es el diagrama circular de un motor?
El lugar geométrico de su corriente al variar la carga, que resulta una circunferencia porque la corriente es proporcional a la admitancia.
¿Por qué en la carta de Smith aparecen círculos?
Porque la transformación bilineal que la define lleva las rectas de resistencia y reactancia constante a circunferencias.
09Para ampliar
- Mac E. Van Valkenburg. Análisis de redes. Limusa. El tratamiento clásico de los lugares geométricos y de la inversión en el plano complejo.
- Phillip H. Smith. Electronic Applications of the Smith Chart. 2.ª ed., Noble Publishing, 1995. El libro del autor de la carta: cómo la transformación de lugares geométricos se convirtió en herramienta de diseño.
- Stephen J. Chapman. Máquinas eléctricas. 5.ª ed., McGraw-Hill. El diagrama circular del motor de inducción, la aplicación histórica más importante de esta unidad.