Régimen sinusoidal y el plano s
La ganancia de un filtro a cualquier frecuencia se puede medir con una regla sobre un dibujo: es la distancia entre un punto del eje imaginario y el polo. El plano s convierte la respuesta en frecuencia en geometría.
01La frecuencia compleja \( s \)
El contenido anterior usó \( j\omega \) para convertir derivadas en productos. Ese \( j\omega \) es un caso particular de algo más general: la frecuencia compleja \( s = \sigma + j\omega \). Una señal de la forma \( e^{st} \) abarca de un solo golpe todas las señales elementales de la unidad de señales:
| Valor de \( s \) | Señal \( e^{st} \) |
|---|---|
| \( s = 0 \) | Una constante: continua pura |
| \( s = \sigma \) real negativo | Una exponencial que decae: un transitorio |
| \( s = j\omega \), imaginario puro | Una senoidal de amplitud constante: régimen permanente |
| \( s = \sigma + j\omega \) con \( \sigma<0 \) | Una senoidal amortiguada: un transitorio oscilatorio |
| \( \sigma>0 \) | Algo que crece sin límite: un circuito inestable |
El régimen permanente sinusoidal es, entonces, lo que pasa sobre una sola recta del plano: el eje imaginario. Todo el resto del plano \( s \) describe transitorios, y se estudia en la unidad de respuesta transitoria.
02La función de transferencia, sus polos y sus ceros
Con impedancias escritas en \( s \) —\( Z_L = sL \), \( Z_C = 1/sC \)— la relación entre la salida y la entrada de un circuito lineal es un cociente de polinomios en \( s \): la función de transferencia \( H(s) \). Las raíces del numerador son los ceros; las del denominador, los polos. Con ellos alcanza para conocer el circuito entero, salvo una constante.
Esa evaluación tiene una lectura geométrica que vale la pena internalizar. El módulo de \( H(j\omega) \) es inversamente proporcional a la distancia entre el punto \( j\omega \) y el polo: cuando \( \omega \) es chico, el punto está lejos del eje real pero cerca del origen, y la distancia al polo casi no cambia; cuando \( \omega \) supera \( |p| \), la distancia crece con \( \omega \) y la ganancia cae. El ángulo de la fase es, con signo cambiado, el ángulo de ese mismo vector.
A la izquierda, el plano \( s \) con el polo del filtro RC y el punto \( j\omega \) que recorre el eje imaginario. A la derecha, la ganancia en decibeles que sale de medir ese vector. Movés la frecuencia y las dos vistas se mueven juntas.
03Decibeles y diagramas de Bode
La ganancia de un circuito varía en muchos órdenes de magnitud, y la frecuencia también. Por eso la respuesta en frecuencia se grafica con los dos ejes logarítmicos: la frecuencia en décadas y la ganancia en decibeles, \( 20\log_{10}|H| \). En esa escala, cada polo aporta una recta de pendiente −20 dB por década a partir de su frecuencia de corte, y cada cero, +20 dB por década.
| \( f/f_c \) | \( |H| \) | Ganancia | Fase |
|---|---|---|---|
| 0,1 | 0,995 | −0,04 dB | −5,7° |
| 1 | 0,707 | −3,01 dB | −45° |
| 10 | 0,0995 | −20,04 dB | −84,3° |
| 100 | 0,0100 | −40,00 dB | −89,4° |
Una década por encima del corte, el filtro ya atenúa diez veces; dos décadas por encima, cien. Esa regla de −20 dB por década y por polo es la que permite dibujar a mano, en un minuto, la respuesta de un circuito con varios polos: se suman rectas.
04Potencia en régimen sinusoidal
Con tensión y corriente senoidales desfasadas un ángulo \( \varphi \), la potencia instantánea oscila, y solo una parte de ella se transforma en trabajo útil. Tres potencias ordenan la cuestión:
A 230 V consume 10 A con factor de potencia 0,8 inductivo. La potencia aparente es 2300 VA; la activa, 1840 W; la reactiva, 1380 var. La distribuidora tiene que transportar 10 A aunque solo 8 A «trabajen»: por eso cobra recargos a los usuarios industriales con bajo factor de potencia, y por eso existen los capacitores de corrección, que entregan localmente la reactiva que el motor pide.
05Dónde aparece en la electrónica
| Caso | Qué se lee en el plano s o en Bode |
|---|---|
| Filtro antialiasing antes de un conversor A/D | Cuántos polos hacen falta para atenuar lo suficiente arriba de la mitad de la frecuencia de muestreo |
| Estabilidad de un amplificador realimentado | Si algún polo del lazo cerrado cruza al semiplano derecho, el amplificador oscila |
| Hoja de datos de un operacional | El producto ganancia-ancho de banda es, literalmente, la ubicación de su polo dominante |
| Fuente conmutada con corrección de factor de potencia | La etapa PFC hace que la corriente de red siga a la tensión, con \( fp \) cercano a 1 |
06En el laboratorio
Armar un RC con 1,6 kΩ y 100 nF, excitarlo con un generador de funciones y medir la amplitud y el desfase de la salida a 100 Hz, 1 kHz y 10 kHz. Comparar con la tabla de la sección 3.
Con el laboratorio de esta página, verificar que en \( f = f_c \) el vector que une el polo con \( j\omega \) forma 45° con el eje real, y que en \( f = 10f_c \) forma casi 84°.
Calcular el capacitor en paralelo que lleva el motor del ejemplo de fp 0,8 a fp 0,95, a 230 V y 50 Hz.
07Errores frecuentes
- Confundir \( s \) con \( j\omega \). El régimen sinusoidal es \( s=j\omega \); el resto del plano describe transitorios.
- Usar \( 10\log \) para una relación de tensiones. Para tensiones y corrientes es \( 20\log \); \( 10\log \) es para potencias.
- Olvidar el signo de la fase de un polo. Un polo atrasa: aporta fase negativa, hasta −90°.
- Sumar potencias aparentes como si fueran activas. \( S \) es un número complejo; sus módulos no se suman salvo que todas las cargas tengan el mismo factor de potencia.
- Creer que la potencia reactiva «se pierde». No se disipa; lo que cuesta es la corriente extra que hace circular por los conductores.
08Autoevaluación
¿Sobre qué parte del plano \( s \) se evalúa la respuesta en frecuencia?
Sobre el eje imaginario, \( s = j\omega \).
¿Dónde está el polo de un RC pasabajos?
En \( s = -1/RC \), sobre el semieje real negativo.
¿Cuánto vale la ganancia en la frecuencia de corte?
\( 1/\sqrt2 \approx 0{,}707 \), es decir −3,01 dB, con −45° de fase.
¿Qué pendiente aporta cada polo en un diagrama de Bode?
−20 dB por década por encima de su frecuencia de corte.
¿Qué mide el factor de potencia?
La fracción de la potencia aparente que es activa: \( \cos\varphi = P/|S| \).
¿Qué indica un polo en el semiplano derecho?
Un circuito inestable: su respuesta crece sin límite.
09Para ampliar
- Charles K. Alexander y Matthew N. O. Sadiku. Fundamentals of Electric Circuits. 7.ª ed., McGraw-Hill, 2021. Los capítulos de potencia en CA y de respuesta en frecuencia, con Bode dibujado a mano.
- Mac E. Van Valkenburg. Análisis de redes. Limusa. El texto clásico que construye toda la teoría de redes alrededor del plano s, con la interpretación geométrica de polos y ceros.
- Adel S. Sedra y Kenneth C. Smith. Microelectronic Circuits. 8.ª ed., Oxford University Press, 2020. El apéndice de funciones de transferencia y Bode, orientado a lo que después pide la estabilidad de amplificadores.