Componentes pasivos: frecuencia y tiempo
El mismo inductor es casi un cortocircuito a 50 Hz y casi un circuito abierto a 1 MHz. La impedancia compleja explica por qué, y la constante de tiempo RC explica todo lo que pasa en el instante en que se cierra una llave.
01La relación tensión-corriente de cada componente
Tres elementos pasivos alcanzan para armar casi cualquier circuito lineal. Cada uno relaciona tensión y corriente de una manera distinta, y esa diferencia es la que hace interesante a toda esta materia.
| Componente | Relación v-i | ¿Tiene memoria? | Energía que almacena |
|---|---|---|---|
| Resistor | \( v = Ri \) | No: la tensión depende solo de la corriente en ese instante | Ninguna; disipa como calor |
| Inductor | \( v = L\dfrac{di}{dt} \) | Sí: la tensión depende de cómo cambia la corriente | \( \tfrac12 Li^2 \), en el campo magnético |
| Capacitor | \( i = C\dfrac{dv}{dt} \) | Sí: la corriente depende de cómo cambia la tensión | \( \tfrac12 Cv^2 \), en el campo eléctrico |
«Tener memoria» es la idea clave: la tensión de un inductor y la corriente de un capacitor no se pueden calcular mirando solo el instante presente, hace falta la historia de cómo llegaron ahí. Eso es, exactamente, lo que convierte a un circuito con \( L \) o \( C \) en un problema de ecuaciones diferenciales.
02Fasores: convertir una ecuación diferencial en álgebra
Resolver ecuaciones diferenciales cada vez que un circuito tiene una fuente senoidal sería agotador. El truco de los fasores lo evita: en régimen permanente, toda tensión y toda corriente de un circuito lineal excitado por una única frecuencia \( \omega \) es una senoidal de esa misma frecuencia, y una senoidal queda completamente determinada por dos números, su amplitud y su fase. Un fasor es, precisamente, esos dos números empaquetados en un solo número complejo.
Esa correspondencia —derivar es multiplicar por \( j\omega \)— es la que transforma toda la ecuación diferencial del circuito en una ecuación algebraica con números complejos, tan mecánica de resolver como un circuito resistivo puro.
03Impedancia compleja: la ley de Ohm generalizada
Con fasores, cada componente pasivo se comporta como una «resistencia compleja», la impedancia \( Z = \mathbf{V}/\mathbf{I} \), y la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff se aplican exactamente igual que con resistencias puras, ahora con números complejos.
| Componente | A 50 Hz (red eléctrica) | A 1 MHz (radio AM) |
|---|---|---|
| Inductor de 10 mH | \( |Z_L| = 3{,}14 \) Ω | \( |Z_L| = 62{.}832 \) Ω |
| Capacitor de 100 nF | \( |Z_C| = 31{.}831 \) Ω | \( |Z_C| = 1{,}59 \) Ω |
El mismo par de componentes se comporta de manera casi opuesta según la frecuencia de trabajo: a 50 Hz el inductor es casi un cortocircuito y el capacitor casi un circuito abierto; a 1 MHz, al revés. Diseñar un filtro es, en esencia, explotar ese cruce.
04El dominio del tiempo: la respuesta transitoria de un circuito RC
Los fasores solo describen el régimen permanente: lo que pasa mucho después de que cualquier conmutación —cerrar una llave, conectar una fuente— dejó de tener efecto. El momento de la conmutación en sí exige volver al dominio del tiempo y resolver la ecuación diferencial. El caso más simple e importante de toda la materia es el circuito RC de primer orden.
Elegís \( R \) y \( C \); el gráfico traza la carga desde 0 V hasta 5 V y marca \( \tau \), \( 3\tau \) y \( 5\tau \).
05Los dos dominios son la misma física, vista de dos maneras
La solución completa de cualquier circuito lineal con una fuente senoidal es, siempre, la suma de dos partes: la respuesta de régimen permanente —la senoidal que da el análisis fasorial, que dura para siempre— y la respuesta transitoria —una exponencial que decae y describe cómo el circuito llega desde su estado inicial hasta ese régimen permanente—. Los fasores calculan la primera parte sin esfuerzo, a costa de no poder ver la segunda; la ecuación diferencial en el tiempo calcula las dos, a costa de mucho más trabajo. Elegir la herramienta correcta depende de qué pregunta se necesita responder.
06Dónde aparece en la electrónica
| Aplicación | Qué usa |
|---|---|
| Antirrebote (debounce) de un pulsador | Un RC con \( \tau \) de unos pocos milisegundos filtra los rebotes mecánicos del contacto |
| Circuito de encendido (power-on reset) | Un RC mantiene un pin en bajo unos milisegundos después de energizar, para que el microcontrolador arranque en un estado conocido |
| Filtro pasabajos / pasaaltos RC | La misma impedancia \( Z_C \) que cae con la frecuencia, usada para separar bandas |
| Snubber RC en un relé o un tiristor | Absorbe el transitorio de conmutación para no dañar el semiconductor |
07En el laboratorio
Con el laboratorio de esta página, elegir \( R \) y \( C \) para que \( 5\tau \) esté entre 5 y 10 ms, un tiempo típico de antirrebote. Verificar con al menos dos combinaciones distintas de \( R \) y \( C \) que dan el mismo \( \tau \).
Calcular \( |Z_L| \) y \( |Z_C| \) de un inductor de 1 mH y un capacitor de 1 µF a 100 Hz, 10 kHz y 1 MHz. Identificar en qué rango cada uno se comporta más parecido a un cortocircuito y en cuál a un circuito abierto.
Para un circuito RC alimentado con una fuente senoidal que se conecta en \( t=0 \), identificar cuál parte de la respuesta calcula un fasor y cuál no, y explicar por qué hace falta la ecuación diferencial completa solo en el instante de la conexión.
08Errores frecuentes
- Aplicar fasores durante un transitorio. Los fasores solo describen el régimen permanente; el momento de conmutación necesita la ecuación diferencial en el tiempo.
- Olvidar que \( Z_L \) y \( Z_C \) dependen de la frecuencia. No son números fijos como \( R \): cambian con \( \omega \), y hay que recalcularlos para cada frecuencia de interés.
- Confundir la constante de tiempo \( \tau \) con el tiempo que tarda en «terminar» el transitorio. \( \tau \) es el 63,2 %; la convención práctica de terminado es \( 5\tau \).
- Pensar que un inductor o un capacitor «tienen» una resistencia fija. Su impedancia es reactiva —imaginaria pura, en el caso ideal— y depende de \( \omega \), no una resistencia real constante.
- Ignorar la condición inicial del capacitor o del inductor. \( V_0 \) en la fórmula de carga no siempre es cero; con carga inicial distinta de cero, la curva es otra.
09Autoevaluación
¿Por qué un inductor o un capacitor «tienen memoria» y un resistor no?
Porque su relación v-i involucra una derivada o una integral: su valor en un instante depende de cómo llegaron ahí, no solo del valor presente de la otra variable.
¿Qué representa un fasor?
La amplitud y la fase de una senoidal de régimen permanente, empaquetadas en un número complejo, sin la dependencia explícita del tiempo.
¿Cómo se calcula la impedancia de un capacitor?
\( Z_C = 1/(j\omega C) \): cae con la frecuencia e inversamente con la capacidad.
¿Qué significa la constante de tiempo \( \tau = RC \)?
El tiempo que tarda la tensión del capacitor en recorrer el 63,2 % de la distancia que le falta hasta su valor final.
¿Por qué los fasores no alcanzan para describir el instante en que se cierra una llave?
Porque describen solo el régimen permanente; el transitorio que sigue al cierre necesita resolver la ecuación diferencial completa en el dominio del tiempo.
¿Qué combinación de \( R \) y \( C \) usaría para un antirrebote con \( \tau \) de 1 ms?
Cualquiera cuyo producto \( RC \) dé 1 ms, por ejemplo 10 kΩ con 100 nF.
10Para ampliar
- Charles K. Alexander y Matthew N. O. Sadiku. Fundamentals of Electric Circuits. 7.ª ed., McGraw-Hill, 2021. Los capítulos de fasores, impedancia y respuesta de primer orden que desarrollan en detalle todo lo que esta página resume.
- James W. Nilsson y Susan A. Riedel. Electric Circuits. 11.ª ed., Pearson, 2019. Un tratamiento muy gradual de la respuesta transitoria RC y RL, con decenas de ejemplos resueltos paso a paso.
- Horowitz y Hill. The Art of Electronics. 3.ª ed., Cambridge University Press, 2015. El capítulo 1 conecta esta teoría con circuitos RC reales de uso cotidiano: antirrebote, filtros y snubbers.