Convolución
Reflejar, correr, multiplicar y medir el área. Con esos cuatro pasos, y conociendo la respuesta al impulso, se calcula la salida de un sistema LTI para cualquier entrada.
01Por qué la integral es así
La convolución no es una definición caída del cielo: sale de aplicar linealidad e invarianza a la descomposición de una señal en impulsos. El razonamiento ya se esbozó al hablar de sistemas LTI y conviene tenerlo completo:
Cada instante de la entrada dispara una copia de \( h \), escalada por el valor que tenía la entrada en ese instante y corrida hasta ahí. La salida es la superposición de todas esas copias. Así se lee la integral:
El \( h(t-\tau) \) contiene las dos transformaciones que ya se estudiaron: el signo menos de \( \tau \) es una reflexión y el \( t \) es un desplazamiento. Por eso el procedimiento gráfico es siempre el mismo: reflejar, correr, multiplicar y medir el área.
02Reflejar, correr, multiplicar, medir
La integral se calcula, para cada valor de \( t \), en cuatro pasos. El laboratorio los muestra los cuatro a la vez: arriba la señal fija y la reflejada que se desliza, con el producto sombreado; abajo, el área de ese sombreado dibujada punto por punto, que es la salida.
Arriba, \( x(\tau) \) en azul y \( h(t-\tau) \) en naranja, reflejada y corrida hasta el instante que elijas. El área verde es el producto de las dos. Abajo, esa área en función de \( t \): la salida.
03Propiedades, y lo que significan en un circuito
| Propiedad | Expresión | Qué dice del circuito |
|---|---|---|
| Conmutativa | \( x * h = h * x \) | Da lo mismo cuál se refleja |
| Asociativa | \( (x * h_1) * h_2 = x * (h_1 * h_2) \) | Dos etapas en cascada equivalen a una con \( h_1 * h_2 \) |
| Distributiva | \( x * (h_1 + h_2) = x*h_1 + x*h_2 \) | Dos ramas en paralelo suman sus respuestas |
| Elemento neutro | \( x * \delta = x \) | Un cable ideal tiene \( h = \delta \) |
| Desplazamiento | \( x * \delta(t-t_0) = x(t-t_0) \) | Una línea de retardo |
| Duración | \( T_y = T_x + T_h \) | La salida dura más que la entrada: el sistema «ensancha» |
| Área | \( A_y = A_x \cdot A_h \) | La ganancia en continua multiplica el área |
La fila de la duración explica algo que se ve en cualquier osciloscopio: un pulso angosto que atraviesa un circuito lento sale más ancho de lo que entró. Y la del área es la versión temporal de la ganancia en continua, porque \( A_h = \int h(t)dt = H(0) \).
La propiedad asociativa dice que dos filtros en cascada equivalen a uno solo cuya respuesta al impulso es \( h_1 * h_2 \). Calcular esa convolución a mano es tedioso. Lo que viene después en la materia es el atajo: en el dominio de la frecuencia la convolución se convierte en un producto, \( H(j\omega) = H_1(j\omega)H_2(j\omega) \), y poner etapas en cascada pasa a ser multiplicar números. Toda la conveniencia de Fourier y de Laplace nace de acá.
04La versión discreta, que es una cuenta
En tiempo discreto no hay integral sino una suma, y eso la vuelve directamente programable:
Con \( x \) de \( N \) muestras y \( h \) de \( M \), la salida tiene \( N + M - 1 \) muestras, que es la versión discreta de la regla de las duraciones. El cálculo requiere del orden de \( N\cdot M \) multiplicaciones, y ahí aparece el motivo de fondo por el que existe la FFT: pasar a frecuencia, hacer un producto punto a punto y volver cuesta del orden de \( N\log N \), que para bloques grandes es muchísimo menos.
Multiplicar dos polinomios es convolucionar sus coeficientes. Y multiplicar dos números enteros a la manera de la escuela primaria —producto por producto, corriendo un lugar y sumando las columnas— es exactamente el mismo algoritmo. La convolución discreta es una operación que cualquiera viene haciendo desde que aprendió a multiplicar.
05En el laboratorio
Convolucionar dos pulsos rectangulares de amplitud 1 y ancho 2, planteando los tramos por separado. Verificar que el resultado es un triángulo de base 4 y altura 2, y que se cumplen las reglas de la duración y del área.
Inyectar en un RC de \( \tau = 100 \) μs pulsos de 10, 100 y 1000 μs. Medir el ancho de la salida a media altura y comparar con la regla \( T_y = T_x + T_h \).
Programar la suma de convolución para dos secuencias de 8 muestras y verificar el resultado contra el producto de los polinomios correspondientes. Contar las multiplicaciones que hizo falta hacer.
06Errores frecuentes
- Olvidar reflejar. Es \( h(t-\tau) \), no \( h(\tau - t) \): el signo menos delante de \( \tau \) es la reflexión.
- Integrar en \( t \) en vez de en \( \tau \). La variable de integración es \( \tau \); \( t \) es un parámetro fijo en cada paso.
- Equivocar los límites. Hay que mirar dónde se superponen las dos señales, y eso cambia según el tramo.
- Confundir convolución con producto. El producto punto a punto es otra operación, y justamente es lo que la convolución no es.
- Esperar que la salida dure lo mismo que la entrada. Dura la suma de las dos duraciones.
07Autoevaluación
¿Cuáles son los cuatro pasos del método gráfico?
Reflejar \( h \), correrla hasta \( t \), multiplicar por \( x \) y medir el área del producto.
¿Cuánto dura la convolución de un pulso de 3 ms con uno de 5 ms?
8 ms: las duraciones se suman.
¿Qué da \( x(t) * \delta(t - 2) \)?
\( x(t-2) \). Convolucionar con un impulso corrido sólo desplaza.
¿Qué representa \( h_1 * h_2 \)?
La respuesta al impulso de las dos etapas en cascada.
¿Cuántas muestras tiene la convolución de dos secuencias de 8 y 5?
12, que es \( 8 + 5 - 1 \).
¿Por qué se prefiere trabajar en frecuencia?
Porque la convolución se convierte en un producto, y poner etapas en cascada pasa a ser multiplicar.
08Para ampliar
- Alan V. Oppenheim y Alan S. Willsky. Señales y sistemas. 2.ª ed., Prentice Hall, 1998. El capítulo 2 entero, con la convolución desarrollada gráficamente tramo por tramo.
- Ronald N. Bracewell. The Fourier Transform and Its Applications. 3.ª ed., McGraw-Hill, 1999. La convolución tratada con una intuición gráfica difícil de encontrar en otro lado.
- John G. Proakis y Dimitris G. Manolakis. Tratamiento digital de señales. 4.ª ed., Pearson, 2007. La convolución discreta, su costo computacional y las técnicas por bloques.