Leyes de conservación en mecánica
Hay cantidades que no cambian aunque todo lo demás cambie. Esas constantes permiten resolver en dos renglones problemas que por Newton llevarían una página entera de ecuaciones diferenciales.
01Por qué conviene conservar algo
Resolver un problema por Newton exige conocer las fuerzas en cada instante. Muchas veces no se las conoce —¿qué fuerza exacta hacen dos autos durante el choque?— y aun así se puede responder, porque ciertas cantidades valen lo mismo antes y después sin importar lo que haya pasado en el medio.
- Energía mecánica, si las fuerzas que actúan son conservativas.
- Cantidad de movimiento, si la fuerza externa neta es nula.
- Momento angular, si el torque externo neto es nulo.
Cada una tiene su condición: no se conserva siempre, se conserva cuando.
02Trabajo y energía cinética
El trabajo de una fuerza a lo largo de un camino es la integral de línea de esa fuerza; para una fuerza constante y un desplazamiento rectilíneo se reduce a W = F·d·cosα.
El trabajo neto de todas las fuerzas es igual al cambio de energía cinética. Vale siempre, haya rozamiento o no.
Una fuerza perpendicular al desplazamiento no hace trabajo: por eso la normal y la fuerza centrípeta nunca cambian la rapidez. Y la potencia es el trabajo por unidad de tiempo, P = F·v, la misma magnitud que en un circuito vale P = V·I.
03Energía potencial y fuerzas conservativas
Una fuerza es conservativa cuando su trabajo no depende del camino, sólo de los extremos. Para esas fuerzas —y sólo para esas— se puede definir una energía potencial:
| Fuerza | Energía potencial | Conservativa |
|---|---|---|
| Peso | Ep = m·g·h | Sí |
| Elástica | Ep = ½·k·x² | Sí |
| Gravitatoria general | Ep = −G·M·m/r | Sí |
| Eléctrica | Ep = q·V | Sí |
| Rozamiento | No existe | No: disipa |
Si sólo trabajan fuerzas conservativas, Ec + Ep = constante. Con rozamiento, la diferencia es exactamente el calor disipado:
La relación entre una fuerza conservativa y su potencial es F⃗ = −∇Ep: la fuerza apunta hacia donde la energía potencial baja más rápido. Es la misma relación que hay entre el campo eléctrico y el potencial, E⃗ = −∇V.
04Impulso y cantidad de movimiento
De ahí sale por qué sirve un airbag: el cambio de cantidad de movimiento en un choque está fijado, pero si el mismo Δp se reparte en diez veces más tiempo, la fuerza máxima se divide por diez.
Si la suma de fuerzas externas es nula, p⃗ total no cambia. Durante un choque, las fuerzas internas son enormes comparadas con el peso o el rozamiento, así que la cantidad de movimiento se conserva con excelente aproximación aunque el sistema no esté realmente aislado.
05Choques
| Tipo | Coeficiente e | Cantidad de movimiento | Energía cinética |
|---|---|---|---|
| Elástico | e = 1 | Se conserva | Se conserva |
| Parcialmente inelástico | 0 < e < 1 | Se conserva | Se pierde una parte |
| Perfectamente inelástico | e = 0 | Se conserva | Pérdida máxima: quedan unidos |
El coeficiente de restitución compara la velocidad de separación con la de acercamiento, e = |v₂′ − v₁′| / |v₂ − v₁|. Con él, las velocidades finales de un choque frontal quedan determinadas:
Movete con el deslizador de tiempo: antes del choque a la izquierda, después a la derecha. Mirá qué pasa con la cantidad de movimiento y con la energía.
06Lo mismo, en electrónica
- Energía en un capacitor y en una bobina. ½·C·V² y ½·L·I² son las gemelas exactas de ½·k·x² y ½·m·v². Un circuito LC oscila intercambiando energía igual que un péndulo.
- Conservación de la carga. La ley de nodos de Kirchhoff es una ley de conservación, con la misma lógica que la de la cantidad de movimiento.
- Adaptación de impedancias. La máxima transferencia de potencia de una fuente a una carga tiene su análogo mecánico exacto en el choque elástico entre masas iguales, donde una transfiere a la otra toda su energía.
- Cosecha de energía. Un generador piezoeléctrico convierte el trabajo de una deformación en energía eléctrica; el balance se plantea con el teorema del trabajo y la energía.
07En el laboratorio
Dejar caer una pelota desde h₀ y medir la altura del primer rebote h₁. Entonces e = √(h₁/h₀). Repetir con pelotas de distinto material y tabular.
Con dos carritos y barreras ópticas, medir las cuatro velocidades de un choque. Verificar que m₁v₁ + m₂v₂ se conserva dentro del error, y calcular qué fracción de la energía se perdió.
Registrar con un microcontrolador la fuerza contra el tiempo durante un golpe breve. El área bajo la curva es el impulso; compararlo con m·Δv medido por video.
08Errores frecuentes
- Suponer que la energía cinética se conserva en todo choque. Sólo en el elástico.
- Sumar cantidades de movimiento como escalares. Es un vector: en un choque frontal, una de las dos velocidades entra con signo negativo.
- Usar Ep = m·g·h con rozamiento presente sin restar el calor disipado.
- Confundir trabajo con fuerza. Sostener una valija quieta no hace trabajo, por más que canse.
- Definir energía potencial para una fuerza no conservativa. No existe.
- Olvidar elegir un nivel de referencia para la altura. Lo que tiene sentido físico es la diferencia de energía potencial, no su valor absoluto.
09Autoevaluación
Un cuerpo de 2 kg cae 5 m. ¿Con qué velocidad llega al suelo?
m·g·h = ½·m·v² da v = √(2·9,8·5) ≈ 9,9 m/s, sin que importe la masa.
Dos cuerpos iguales, uno a 5 m/s y otro quieto, chocan elásticamente. ¿Qué pasa?
Intercambian velocidades: el primero queda quieto y el segundo sale a 5 m/s. Es el caso de máxima transferencia de energía.
¿Cuánta energía se pierde en un choque perfectamente inelástico entre 2 kg a 4 m/s y 3 kg en reposo?
v′ = 8/5 = 1,6 m/s. E antes = 16 J, E después = ½·5·1,6² = 6,4 J: se pierden 9,6 J, el 60 %.
¿Por qué un airbag reduce las lesiones si el Δp es el mismo?
Porque J = F·Δt: al alargar el tiempo del impacto, la fuerza máxima baja en la misma proporción.
¿La normal hace trabajo sobre un cuerpo que baja por un plano inclinado?
No: es perpendicular al desplazamiento, así que su trabajo es nulo.
¿Cuál es el análogo eléctrico de ½·m·v²?
La energía de una bobina, ½·L·I², con la inductancia en el papel de la masa y la corriente en el de la velocidad.
10Para ampliar
- Raymond A. Serway y John W. Jewett. Física para ciencias e ingeniería, volumen 1. 9.ª ed., Cengage Learning, 2014. Capítulos 7 a 9: trabajo, energía, cantidad de movimiento y choques.
- Paul A. Tipler y Gene Mosca. Física para la ciencia y la tecnología, volumen 1. 6.ª ed., Reverté, 2010. Buen tratamiento del coeficiente de restitución y de choques en dos dimensiones.
- Richard P. Feynman. Física, volumen I. Addison-Wesley / Pearson, 1963. El capítulo 4, «La conservación de la energía», explica qué significa realmente que algo se conserve.
- Marcelo Alonso y Edward J. Finn. Física. Addison-Wesley Iberoamericana, 1995. Desarrolla la mecánica partiendo de las leyes de conservación en lugar de las de Newton.