Cinemática y dinámica del cuerpo rígido
Un cuerpo extenso no sólo se traslada: también gira. Cada magnitud de la traslación tiene su gemela en la rotación, y la masa se convierte en momento de inercia.
01Cada magnitud tiene su gemela
Un cuerpo rígido es un modelo: un sólido cuyas partículas mantienen siempre la misma distancia entre sí. No se deforma. Con esa idealización, todo el movimiento se descompone en traslación del centro de masa más rotación alrededor de él.
Y lo notable es que la rotación repite, término por término, la estructura de la traslación:
| Traslación | Rotación | Relación |
|---|---|---|
| Posición x | Ángulo θ | s = θ·R |
| Velocidad v | Velocidad angular ω | v = ω·R |
| Aceleración a | Aceleración angular α | a = α·R |
| Masa m | Momento de inercia I | I = Σmi·ri² |
| Fuerza F | Momento M = F·d | M = r × F |
| ΣF = m·a | ΣM = I·α | La segunda ley, dos veces |
| p = m·v | L = I·ω | Cantidad de movimiento angular |
| Ec = ½·m·v² | Ec = ½·I·ω² | Se suman si hay ambas |
| P = F·v | P = M·ω | Potencia |
La última fila es la que se usa todos los días: un motor de 1,5 kW que gira a 1500 rpm entrega un par de M = P/ω = 1500/(1500·2π/60) = 9,55 N·m. Esa cuenta decide qué motor hace falta para mover una carga, y es la misma para un servo de impresora 3D que para un molino.
02Momento de inercia
La masa mide la resistencia a cambiar la velocidad; el momento de inercia mide la resistencia a cambiar la velocidad angular. Y a diferencia de la masa, depende del eje: la misma pieza cuesta más o menos de hacer girar según por dónde se la sostenga.
| Cuerpo (eje por el centro) | Momento de inercia | k = I/(m·R²) |
|---|---|---|
| Aro o cilindro hueco de pared fina | m·R² | 1 |
| Disco o cilindro macizo | ½·m·R² | 0,5 |
| Esfera hueca | ⅔·m·R² | 0,667 |
| Esfera maciza | ⅖·m·R² | 0,4 |
| Varilla por su centro | 1/12·m·L² | — |
| Varilla por un extremo | ⅓·m·L² | — |
Para un eje paralelo al que pasa por el centro de masa, a una distancia d: I = Icm + m·d². Por eso la varilla sostenida de un extremo tiene ⅓·m·L² y no 1/12: 1/12 + 1/4 = 1/3.
03Dinámica de la rotación y rodadura
Un cuerpo que rueda sin deslizar cumple v = ω·R, y su energía cinética se reparte entre traslación y rotación. Planteando la conservación de la energía al bajar una altura h:
De ahí sale un resultado que sorprende siempre: en una carrera por un plano inclinado, la esfera maciza le gana al disco, y el disco al aro, sin importar qué pese cada uno ni qué tamaño tenga. Gana el que reparte menos energía en girar.
Los cinco parten juntos desde la misma altura. Movete con el deslizador de tiempo y mirá el orden de llegada.
04Momento angular y su conservación
Si el momento externo neto es nulo, L = I·ω se conserva. Como I puede cambiar —acercando o alejando masa del eje—, la velocidad angular cambia en sentido contrario:
- La patinadora que junta los brazos reduce I y gira más rápido.
- El gato que cae de espaldas se acomoda en el aire sin ningún momento externo: cambia su forma.
- Un satélite se estabiliza haciendo girar una rueda interna; la nave gira al revés. Ese es el principio de la rueda de reacción, que orienta telescopios espaciales sin gastar combustible.
- Un giróscopo resiste el cambio de orientación de su eje, y esa propiedad es la que mide un giróscopo MEMS de un teléfono o de un dron.
Cuando se aplica un momento a un cuerpo que gira, el eje no se mueve hacia donde empuja la fuerza sino perpendicular a ella: eso es la precesión. Es lo que mantiene derecha una bicicleta en movimiento y lo que hace que un trompo inclinado gire en lugar de caerse.
05Dónde aparece en electrónica
- Dimensionar un motor. El par de arranque debe vencer el momento de inercia de la carga: M = I·α. Un motor paso a paso que no llega pierde pasos, y el error se acumula.
- Encoders. Miden θ y, derivando, ω. El control de velocidad de un motor es un lazo sobre esa medición.
- Giróscopos MEMS. Detectan la rotación por el efecto Coriolis sobre una masa vibrante: la estabilización de imagen de una cámara y el control de un dron dependen de ellos.
- Discos y ventiladores. El tiempo que tarda en llegar a régimen un disco o un cooler sale de I·α = Mmotor − Mrozamiento.
- Volantes de inercia. Almacenan energía como ½·I·ω², y se usan como reserva en sistemas de alimentación ininterrumpida de gran porte.
06En el laboratorio
Dejar rodar por una tabla inclinada un aro, un disco y una esfera del mismo diámetro. Verificar el orden de llegada y comprobar que no cambia al usar cuerpos de distinta masa.
Colgar una pesa de un hilo enrollado en el eje de una rueda y medir la aceleración con la que baja. De a = g/(1 + I/(m·r²)) se despeja I. Comparar con el valor teórico de un disco.
Con un MPU-6050, registrar la velocidad angular al girar la placa 90°. Integrar numéricamente ω para obtener el ángulo y comprobar cuánto se desvía por la deriva del sensor: ese error acumulado es la razón de que se combine con el acelerómetro en un filtro complementario.
07Errores frecuentes
- Usar un momento de inercia sin decir respecto de qué eje. No tiene sentido.
- Olvidar Steiner cuando el eje no pasa por el centro de masa.
- Sumar sólo la energía de traslación en un cuerpo que rueda: falta ½·I·ω².
- Creer que el cuerpo más pesado gana la carrera. La masa se simplifica.
- Confundir momento de una fuerza con cantidad de movimiento angular. Uno es la causa, el otro es lo que cambia: M = dL/dt.
- Aplicar v = ω·R cuando hay deslizamiento. Sólo vale en rodadura pura.
08Autoevaluación
¿Qué llega antes al pie de un plano: una esfera maciza o un aro?
La esfera: k = 0,4 contra k = 1, así que su aceleración es g·senθ/1,4 frente a g·senθ/2. Llega un 20 % más rápido.
Un motor de 2 kW gira a 3000 rpm. ¿Cuál es su par?
ω = 3000·2π/60 = 314 rad/s, así que M = 2000/314 ≈ 6,4 N·m.
¿Cuánta energía guarda un volante de I = 0,5 kg·m² a 6000 rpm?
ω = 628 rad/s, E = ½·0,5·628² ≈ 98,6 kJ. Duplicar la velocidad cuadruplica la energía.
Una varilla de 1 m y 2 kg gira por un extremo. ¿Cuál es su momento de inercia?
I = ⅓·m·L² = ⅓·2·1 = 0,667 kg·m².
¿Por qué la patinadora acelera al juntar los brazos?
Porque L = I·ω se conserva: al bajar I, ω sube en la misma proporción. La energía cinética, en cambio, aumenta, y sale del trabajo muscular de juntar los brazos.
¿En qué proporción se reparte la energía de un disco que rueda?
Dos tercios en traslación y un tercio en rotación, porque ½·I·ω² = ¼·m·v², la mitad de la de traslación.
09Para ampliar
- Raymond A. Serway y John W. Jewett. Física para ciencias e ingeniería, volumen 1. 9.ª ed., Cengage Learning, 2014. Capítulos 10 y 11: rotación, rodadura y momento angular.
- Paul A. Tipler y Gene Mosca. Física para la ciencia y la tecnología, volumen 1. 6.ª ed., Reverté, 2010. Buen desarrollo del teorema de Steiner y de la precesión giroscópica.
- Ferdinand P. Beer y E. Russell Johnston. Mecánica vectorial para ingenieros: dinámica. 10.ª ed., McGraw-Hill, 2013. El enfoque de ingeniería, con muchos casos de máquinas reales.
- Marcelo Alonso y Edward J. Finn. Física. Addison-Wesley Iberoamericana, 1995. Trata la rotación desde el momento angular, no desde el momento de inercia.