Teorema del muestreo
Toda la comunicación digital descansa sobre una afirmación sorprendente: una señal continua puede reconstruirse exactamente a partir de muestras aisladas, siempre que se tomen con suficiente frecuencia. Ese «suficiente» tiene un valor preciso.
El análisis espectral y la idea de contenido de frecuencia se desarrollan en señales y análisis de Fourier, y la conversión en sí en conversores A/D y D/A. Acá se trabaja el criterio que decide a qué velocidad hay que muestrear y qué pasa si no se respeta.
01El enunciado
| Aplicación | Banda útil | Muestreo | Por qué ese valor |
|---|---|---|---|
| Telefonía | 300 a 3400 Hz | 8 kHz | Poco más del doble de 3400 Hz, con margen para el filtro. |
| Audio digital | 20 Hz a 20 kHz | 44,1 kHz | Cubre el oído humano con margen para el filtro de entrada. |
| Instrumentación | según el proceso | 5 a 20 veces | No basta con reconstruir: hay que ver bien la forma de onda. |
| Osciloscopio digital | ancho de banda | 5 a 10 veces | Para que los flancos se vean sin depender de la interpolación. |
Muestrear exactamente al doble sólo funciona con señales matemáticamente perfectas y filtros ideales. En la práctica se toma un margen: la telefonía muestrea a 8 kHz para una banda de 3,4 kHz, y el audio a 44,1 kHz para 20 kHz. Ese margen es lo que le da al filtro antialias un rango de frecuencias donde atenuar.
02Solapamiento
Se muestrea a 8 kHz una señal que contiene un tono de 5 kHz, sin filtro de entrada.
- El límite de Nyquist es 8/2 = 4 kHz. El tono de 5 kHz lo supera.
- Frecuencia del alias: |8 − 5| = 3 kHz.
- En la señal reconstruida aparece un tono de 3 kHz que nunca existió, dentro de la banda útil y por lo tanto imposible de filtrar.
Es el mismo fenómeno por el que en una filmación las ruedas de un auto parecen girar al revés: la cámara «muestrea» a 24 o 30 cuadros por segundo y la rueda gira más rápido que eso.
Y es analógico, porque una vez muestreado el daño es irreversible: no hay procesamiento digital que separe el alias de la señal legítima. Su frecuencia de corte se ubica por debajo de fs/2, y su pendiente tiene que ser suficiente para que en fs/2 la atenuación sea mayor que el rango dinámico del conversor.
Ese requisito es exigente: un filtro de octavo orden no es raro. Por eso se usa el sobremuestreo, que separa mucho la banda útil de fs/2 y permite un filtro analógico simple, dejando el filtrado fino en el dominio digital, donde es fácil.
03Retención y reconstrucción
- El circuito de muestreo y retención congela el valor mientras el conversor trabaja. Sin él, una señal que cambia durante la conversión produce un resultado sin sentido.
- La apertura —el tiempo que tarda en congelar— y el jitter —la variación del instante de muestreo— limitan la exactitud a alta frecuencia.
- El droop es la lenta descarga del capacitor de retención: debe ser despreciable durante la conversión.
- El conversor D/A entrega escalones, no una curva: mantiene cada valor hasta la muestra siguiente.
- Esos escalones contienen componentes de alta frecuencia que no estaban en el original. El filtro de reconstrucción los elimina y devuelve la curva suave.
- La retención introduce además una leve atenuación de las frecuencias altas, que en los sistemas exigentes se compensa.
Si las muestras no se toman en instantes exactamente equidistantes, el valor capturado corresponde a un momento equivocado, y eso equivale a un error de amplitud. Cuanto más rápido varía la señal, más grande es ese error. En audio y en radio digital el jitter del reloj de muestreo puede limitar el rendimiento mucho antes que la cantidad de bits del conversor.
04Modulación de pulsos y multiplexación
| Sigla | Qué modula del pulso | Uso |
|---|---|---|
| PAM | La amplitud de cada pulso sigue el valor de la muestra. | Es el paso intermedio de todo muestreo: lo que existe antes de cuantificar. |
| PWM | El ancho del pulso. La información está en la duración. | Control de potencia, servos, fuentes conmutadas, regulación de brillo. |
| PPM | La posición del pulso dentro de su intervalo. | Enlaces ópticos y radiocontrol. Buena inmunidad al ruido de amplitud. |
| PCM | Cada muestra se cuantifica y se codifica en bits. | Toda la telefonía y el audio digital. Se desarrolla en el eje siguiente. |
Entre una muestra y la siguiente hay tiempo libre, y ese tiempo se aprovecha para intercalar las muestras de otros canales. Es la idea que permitió que un solo par de cobre lleve treinta conversaciones.
En el sistema europeo, la trama E1 tiene 32 intervalos de 8 bits cada uno, repetidos 8000 veces por segundo: 32 × 8 × 8000 = 2,048 Mbit/s. De esos 32 intervalos, 30 llevan voz y dos se reservan para sincronismo y señalización.
Un enlace digital de 8,448 Mbit/s transportando canales telefónicos de 64 kbit/s, con un 5 % de la capacidad reservada para sincronismo y control.
Capacidad útil: 8,448 × 0,95 = 8,026 Mbit/s. Canales: 8 026 000/64 000 = 125 canales como máximo teórico.
El sistema real que trabaja a esa velocidad —el E2— transporta 120 canales: cuatro tramas E1 de 30 canales cada una. La diferencia son los bits de sincronismo y de justificación que la multiplexación necesita para juntar cuatro tramas cuyos relojes no son exactamente iguales.
05En el laboratorio
Con un generador y una placa de sonido o un conversor A/D, muestrear tonos de frecuencia creciente sin filtro de entrada. Registrar a partir de qué frecuencia el tono medido empieza a bajar en lugar de subir, y verificar la fórmula del alias en varios puntos.
Repetir la práctica anterior intercalando un filtro pasabajos activo con corte por debajo de la mitad de la frecuencia de muestreo. Comprobar que los alias desaparecen y medir cuánta atenuación hace falta en fs/2 para que no se noten.
Convertir de nuevo a analógico una señal muestreada y observar los escalones en el osciloscopio. Agregar el filtro de reconstrucción y comparar. Medir el contenido de alta frecuencia antes y después con un analizador de espectro.
Con un microcontrolador, muestrear cuatro señales lentas y transmitirlas intercaladas por un solo canal serie, con una palabra de sincronismo al inicio de cada trama. Del otro lado, separarlas y reconstruirlas. Es una trama TDM completa hecha a mano.
06Errores frecuentes
| Error | Consecuencia |
|---|---|
| Muestrear sin filtro antialias | Aparecen componentes que nunca existieron, dentro de la banda útil e imposibles de quitar después. |
| Muestrear exactamente al doble | No hay margen para el filtro: en la práctica hace falta bastante más. |
| Filtrar después del conversor | Demasiado tarde: el solapamiento ya ocurrió y es irreversible. |
| Creer que 2 veces alcanza para ver la forma de onda | Nyquist garantiza la reconstrucción, no una pantalla legible. Para observar hacen falta 5 a 10 veces. |
| Ignorar el jitter del reloj | Limita la exactitud a alta frecuencia mucho antes que la resolución del conversor. |
| Sin muestreo y retención | La señal cambia durante la conversión y el resultado no corresponde a ningún instante. |
| Olvidar el filtro de reconstrucción | Los escalones del D/A radian e interfieren, y la señal no es la original. |
07Autoevaluación
¿Qué dice el teorema del muestreo?
Que una señal limitada en banda queda completamente determinada por sus muestras si la frecuencia de muestreo es al menos el doble de su componente más alta.
Un tono de 6 kHz muestreado a 8 kHz: ¿dónde aparece?
En |8 − 6| = 2 kHz, dentro de la banda útil y sin manera de distinguirlo de una señal legítima de esa frecuencia.
¿Por qué la telefonía muestrea a 8 kHz?
Porque su banda llega a 3400 Hz: el doble sería 6800 Hz, y los 8 kHz dejan un margen razonable para que actúe el filtro antialias.
¿Dónde va el filtro antialias y por qué?
Antes del conversor, y es analógico. Una vez muestreada la señal, el solapamiento ya ocurrió y ningún procesamiento posterior puede deshacerlo.
¿Qué ventaja tiene el sobremuestreo?
Separa mucho la banda útil de fs/2, así que alcanza un filtro analógico simple y el filtrado fino se hace en el dominio digital, donde es sencillo.
¿Para qué sirve el circuito de muestreo y retención?
Para congelar el valor de la señal mientras el conversor trabaja. Sin él, una señal que cambia durante la conversión da un resultado que no corresponde a ningún instante.
¿Qué es el jitter y qué efecto produce?
La variación del instante de muestreo. Equivale a un error de amplitud, tanto mayor cuanto más rápido varía la señal, y puede limitar el rendimiento antes que la cantidad de bits.
¿Por qué hace falta un filtro después del conversor D/A?
Porque el D/A entrega escalones, que contienen componentes de alta frecuencia inexistentes en el original. El filtro de reconstrucción las elimina.
Diferencia entre PWM y PPM.
En PWM la información está en el ancho del pulso; en PPM, en su posición dentro del intervalo.
¿De dónde salen los 2,048 Mbit/s de una trama E1?
De 32 intervalos de 8 bits repetidos 8000 veces por segundo: 32 × 8 × 8000 = 2 048 000 bit/s. Treinta intervalos llevan voz y dos, sincronismo y señalización.