Intercomparación de sistemas
Por más ancho de banda que se use, ningún sistema puede transmitir con menos de −1,59 dB de energía por bit sobre la densidad de ruido. Una QPSK sin codificar necesita 9,6 dB para un error cada 100 000 bits.
01Dos recursos para repartir
Todo sistema de comunicaciones gasta dos recursos escasos: potencia y ancho de banda. Comparar sistemas es ver cuánto de cada uno necesitan para entregar una calidad dada, que en analógica es la relación señal a ruido a la salida y en digital la tasa de error. Según cuál falte, los sistemas se dividen en dos grupos:
| Sistema | Recurso escaso | Qué se elige | Ejemplos |
|---|---|---|---|
| Limitado en potencia | La energía de la señal recibida | Modulaciones robustas y códigos potentes, aunque ocupen banda | Sondas espaciales, GPS, sensores a batería |
| Limitado en banda | El espectro asignado | Constelaciones de muchos puntos y más potencia | Radioenlaces de microondas, cable módem, Wi-Fi |
Los sistemas celulares y de Wi-Fi pasan de un grupo al otro según la distancia: eligen la modulación y el código en cada instante a partir de la relación señal a ruido que mide el receptor.
02Los sistemas analógicos, comparados
Con los resultados de ruido en modulaciones analógicas, para un tono y la misma potencia recibida:
| Sistema | Ancho de banda | SNR a la salida | Umbral |
|---|---|---|---|
| SSB | \( W \) | \( \gamma \) | No |
| DSB-SC | \( 2W \) | \( \gamma \) | No |
| AM, m = 1 | \( 2W \) | \( \gamma/3 \) | Con detector de envolvente |
| FM, β = 5 | \( 12W \) | \( 37{,}5\,\gamma \) | Sí, cerca de γ = 20 dB |
SSB es la más eficiente en espectro y la FM de banda ancha la que mejor aprovecha la potencia. La PCM agrega otra posibilidad: por encima de su propio umbral de errores, la calidad no depende del canal sino de la cuantificación, y la señal se puede regenerar en cada repetidor sin acumular ruido. Es la razón por la que las redes se volvieron digitales.
03El plano de Shannon
En digital, las dos medidas son la eficiencia espectral \( \eta = R_b/B \) y la \( E_b/N_0 \) necesaria. La fórmula de Shannon y Hartley, con \( S = E_b R_b \) y \( N = N_0 B \), transmitiendo a la capacidad, da el mínimo posible para cada eficiencia:
Cada modulación ocupa un punto del plano, y la distancia horizontal a la curva es la ganancia que un código podría recuperar. Las M-QAM avanzan hacia arriba, ganando eficiencia a costa de potencia; las FSK ortogonales, hacia la izquierda, gastando banda para ahorrar potencia.
La curva es el límite de Shannon; debajo de ella no hay sistema posible. Los puntos son las modulaciones sin codificar, en la \( E_b/N_0 \) que da la tasa de error elegida, con pulsos de Nyquist ideales (α = 0). Para las FSK ortogonales coherentes se toma una separación entre tonos de \( 1/2T \).
04Elegir un sistema
A una tasa de error de 10⁻⁵, las modulaciones sin codificar quedan entre 7 y 10 dB a la derecha del límite. Los códigos correctores recuperan buena parte de esa distancia: los códigos convolucionales de los años setenta ganaban unos 5 dB, y los turbo y LDPC actuales quedan a alrededor de 1 dB de la curva. El diseño de un enlace combina las piezas de toda la materia:
- El presupuesto de enlace, con la figura de ruido del receptor, da la \( E_b/N_0 \) disponible.
- El ancho de banda asignado fija la eficiencia espectral mínima.
- El plano de Shannon indica si el par es posible y qué ganancia de codificación hace falta.
- La modulación se elige por su eficiencia y por su envolvente, según los amplificadores disponibles.
05En el laboratorio
Calcular el presupuesto de un radioenlace de microondas real a partir de sus hojas de datos y ubicar su punto de operación en el plano de Shannon.
Con un analizador de Wi-Fi, registrar la modulación y la tasa que usa un equipo a distintas distancias del punto de acceso, junto con la relación señal a ruido informada.
Simular en la computadora una BPSK con y sin un código de Hamming (7,4), y medir la ganancia de codificación a una tasa de error de 10⁻⁵, teniendo en cuenta la energía de los bits de redundancia.
06Errores frecuentes
- Comparar modulaciones por su tasa de error a igual S/N. La comparación correcta es a igual \( E_b/N_0 \) y considerando el ancho de banda.
- Creer que se puede transmitir con cualquier \( E_b/N_0 \) si se usa mucha banda. Por debajo de −1,59 dB es imposible.
- Olvidar la energía de la redundancia al medir la ganancia de un código. Los bits de paridad también cuestan potencia.
- Elegir siempre la modulación más eficiente. En un sistema limitado en potencia conviene lo contrario.
07Autoevaluación
¿Cuál es la mínima Eb/N0 para transmitir a 2 bit/s/Hz?
\( (2^2 - 1)/2 = 1{,}5 \): 1,76 dB.
Una QPSK sin codificar necesita 9,6 dB para 10⁻⁵. ¿Cuánto podría ganar un código ideal a la misma eficiencia?
El límite a 2 bit/s/Hz es 1,76 dB: unos 7,8 dB.
¿Qué recurso escatima una sonda espacial y qué modulación le conviene?
La potencia: una modulación binaria o de pocos puntos, con un código potente, aunque ocupe más banda.
¿Qué ancho de banda ocupa una FM con β = 5 y cuánto mejora la SNR sobre DSB?
12W, seis veces DSB, y mejora \( 1{,}5 \cdot 25 = 37{,}5 \) veces: 15,7 dB.
08Para ampliar
- Bernard Sklar. Digital Communications: Fundamentals and Applications. 2.ª ed., Prentice Hall, 2001. El plano de eficiencia espectral y los compromisos de diseño de un enlace.
- John G. Proakis y Masoud Salehi. Communication Systems Engineering. 2.ª ed., Prentice Hall, 2002. La comparación de los sistemas analógicos y digitales con el mismo marco.
- A. Bruce Carlson y Paul B. Crilly. Communication Systems. 5.ª ed., McGraw-Hill, 2010. El intercambio entre ancho de banda y potencia en los sistemas analógicos y digitales.