Informática I · 120 h · Contenido 2 de 6

Sistemas de numeración y aritmética binaria

Adentro de la máquina todo son bits. Lo que cambia es cómo se los lee: el mismo byte puede ser un número sin signo, uno negativo, un carácter o una instrucción.

Binario Hexadecimal Complemento a dos Desborde IEEE 754

01Un número no es su escritura

Trece ovejas son trece ovejas, se escriban 13, XIII, 1101 o D. El número es la cantidad; lo que cambia es el sistema con que se anota. Los sistemas que usa la computación son posicionales: cada dígito pesa según el lugar que ocupa, y el peso de cada lugar es una potencia de la base b.

N = \sum_{i = - m}^{n - 1} d_{i} \cdot b^{i} 0 \leq d_{i} < b

n dígitos enteros y m fraccionarios. Con b = 10 es la cuenta de todos los días; con b = 2, la de la máquina.

Por ejemplo, 1101,1₂ = 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ + 1·2⁻¹ = 8 + 4 + 1 + 0,5 = 13,5.

Por qué binario

Un circuito que sólo tiene que distinguir dos estados, conduce o no conduce, es barato, rápido y muy inmune al ruido: una tensión de 4,3 V en lugar de 5 V sigue siendo un «1» sin discusión. Distinguir diez niveles en un mismo cable sería mucho más frágil. La base 2 no es una elección matemática sino eléctrica.

Los programadores leen binario agrupado. El hexadecimal (base 16, dígitos 0–9 y A–F) resume cuatro bits en un dígito y el octal (base 8) resume tres. 1001 1100 se lee 9C de un vistazo; por eso los volcados de memoria y las direcciones se escriben en hexadecimal.

02Un byte, muchas lecturas

Los mismos ocho bits significan cosas distintas según quién los lea. Tocá los bits: el patrón es uno solo, y las interpretaciones cambian a la vez. El bit de la izquierda (b7) es el de mayor peso.

Laboratorio · el mismo byte, seis significados

Clic en cada bit para cambiarlo. En complemento a dos, el bit 7 pesa −128.

La lectura no está en los bits: está en el programa. En C la decide el tipo de la variable, y convertir de un tipo a otro muchas veces no toca ni un bit, sólo cambia la lectura.

03Cómo se convierte entre bases

De decimal a otra base: divisiones sucesivas

Se divide por la base y se guarda el resto; el cociente se vuelve a dividir, hasta llegar a cero. Los restos, leídos de abajo hacia arriba, son los dígitos.

156 a binario

156 ÷ 2 = 78 resto 0 · 78 ÷ 2 = 39 resto 0 · 39 ÷ 2 = 19 resto 1 · 19 ÷ 2 = 9 resto 1 · 9 ÷ 2 = 4 resto 1 · 4 ÷ 2 = 2 resto 0 · 2 ÷ 2 = 1 resto 0 · 1 ÷ 2 = 0 resto 1.

De abajo hacia arriba: 156 = 1001 1100₂ = 9C₁₆ = 234₈. Comprobación: 128 + 16 + 8 + 4 = 156.

La parte fraccionaria: multiplicaciones sucesivas

Se multiplica por la base; la parte entera que aparece es el dígito siguiente y se sigue con lo que queda después de la coma.

0,625 y 0,1 a binario

0,625 · 2 = 1,25 → 0,25 · 2 = 0,5 → 0,5 · 2 = 1,0. Termina: 0,625 = 0,101₂.

0,1 · 2 = 0,2 → 0,4 → 0,8 → 1,6 → 1,2 → 0,4 → … y el 0,4 vuelve a aparecer. 0,1 = 0,00011₂, periódico.

0,1 + 0,2 no da 0,3

Una fracción tiene desarrollo finito en base 2 sólo si su denominador es una potencia de 2. El 0,1 decimal no lo es, así que en la máquina se guarda redondeado. Por eso en casi cualquier lenguaje 0.1 + 0.2 == 0.3 es falso. Nunca se comparan números reales con ==: se compara la diferencia contra una tolerancia.

Entre binario, octal y hexadecimal: agrupar

Como 16 = 2⁴ y 8 = 2³, no hace falta pasar por decimal: se agrupan los bits de a cuatro o de a tres desde la coma y se reemplaza cada grupo. 1011 0110 1111 = B6F; 101 101 101 111 = 5557.

04Aritmética binaria

Se hace igual que en decimal, con tablas mucho más cortas. En la suma, 1 + 1 = 10: se escribe 0 y se lleva 1. La multiplicación se reduce a desplazar y sumar, porque cada dígito del multiplicador es 0 o 1: o no se suma nada o se suma el multiplicando corrido.

    1011   (11)           1011
  + 0110   ( 6)         ×  101
  ------                ------
   10001   (17)           1011    ← 1011 · 1
                         0000     ← 1011 · 0, corrido 1
                        1011      ← 1011 · 1, corrido 2
                        ------
                        110111    (55 = 11 · 5)

Correr un número k lugares a la izquierda lo multiplica por 2^k; a la derecha lo divide por 2^k descartando el resto. Los compiladores reemplazan x * 8 por x << 3 cuando les conviene. Los sumadores que hacen esto en hardware están en lógica combinacional.

05Números negativos: complemento a dos

La máquina no tiene un lugar para el signo menos: todo son bits. Hubo tres soluciones, y ganó la que permite usar el mismo sumador para números con y sin signo.

Representación	−5 en 8 bits	Rango con 8 bits	Problema
Signo y magnitud	`1000 0101`	−127 … +127	Dos ceros (+0 y −0) y un circuito de suma distinto para cada combinación de signos
Complemento a uno	`1111 1010`	−127 … +127	También tiene dos ceros; la suma necesita sumar el acarreo final
Complemento a dos	`1111 1011`	−128 … +127	Ninguno: un solo cero y la suma común funciona

En complemento a dos el bit de mayor peso vale negativo. Con n bits:

N = - d_{n - 1} \cdot 2^{n - 1} + \sum_{i = 0}^{n - 2} d_{i} \cdot 2^{i} - 2^{n - 1} \leq N \leq 2^{n - 1} - 1

Para cambiar de signo: invertir todos los bits y sumar 1. −x = ~x + 1.

Una manera de verlo sin fórmulas: los números de 8 bits forman un reloj de 256 posiciones. Restar 5 es lo mismo que avanzar 251, porque 251 + 5 = 256 da la vuelta y vuelve a cero. En complemento a dos, a la posición 251 (1111 1011) se la llama −5. Por eso el sumador no necesita saber si hay signo: la cuenta en el reloj es la misma.

Extensión de signo

Al pasar un número con signo a más bits se copia el bit de signo hacia la izquierda: −5 en 16 bits es 1111 1111 1111 1011, no 0000 0000 1111 1011 (que es +251).

06Acarreo y desborde: las banderas

El resultado de una suma de 8 bits siempre cabe en 8 bits más un acarreo. Lo que puede fallar es la interpretación, y la ALU avisa con banderas, sin saber cuál de las dos lecturas le interesa al programa:

C (acarreo): el resultado sin signo no entró. 200 + 100 = 300 > 255.
V (desborde): el resultado con signo no entró. Pasa sólo al sumar dos números del mismo signo y obtener uno del signo contrario: 100 + 100 da −56.
N (negativo) copia el bit 7 y Z (cero) indica si el resultado es 0.

Laboratorio · una ALU de 8 bits

Escribí los operandos en decimal (−128 a 255). La ALU los guarda como 8 bits y calcula las banderas.

A = B =

07Números reales: punto fijo y punto flotante

En punto fijo se decide de antemano cuántos bits van después de la coma. En formato Q8.8, por ejemplo, un entero de 16 bits representa el número dividido por 256. Es rápido, usa sólo la ALU entera y es lo habitual en microcontroladores sin unidad de punto flotante; a cambio, el rango es chico.

El punto flotante hace lo mismo que la notación científica: guarda signo, exponente y mantisa. El estándar IEEE 754 de precisión simple usa 32 bits:

x = {(- 1)}^{s} \cdot 1, f \cdot 2^{e - 127}

1 bit de signo s · 8 bits de exponente e con sesgo 127 · 23 bits de fracción f. El «1,» no se guarda: está implícito.

−6,25 en IEEE 754 simple

6,25 = 110,01₂ = 1,1001₂ · 2². Signo 1; exponente 2 + 127 = 129 = 1000 0001; fracción 1001 0000 ….

1 10000001 10010000000000000000000 = 0xC0C80000.

Con 24 bits de mantisa la precisión relativa es 2⁻²³ ≈ 1,2·10⁻⁷: unas siete cifras decimales. Sumar 1 a 100 000 000 en float no cambia nada, porque el 1 cae por debajo de la última cifra que se guarda. Para cálculos de ingeniería se usa double, de 64 bits y unas 16 cifras.

08Códigos: cuando los bits no son cantidades

Código	Qué representa	Ejemplo
BCD	Cada dígito decimal en 4 bits. Lo usan los relojes, los displays y los instrumentos	59 = `0101 1001`
ASCII	Caracteres en 7 bits: letras, dígitos, signos y controles	'A' = 65 = `0x41`; '0' = 48
UTF-8	Todo Unicode en 1 a 4 bytes; los primeros 128 coinciden con ASCII	'ñ' = `0xC3 0xB1`
Gray	Números consecutivos difieren en un solo bit. Evita lecturas falsas en encoders	3 = `010`, 4 = `110`

El dígito '7' no es el número 7: vale 55. Para convertir un carácter dígito en su valor se resta '0'. Los códigos que usan los conversores están en conversores A/D y D/A.

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09En el laboratorio

Práctica 1 · Ver los bits en C

Escribir una función void binario(uint8_t x) que imprima los 8 bits con (x >> i) & 1. Imprimir con ella 5, −5 guardado en un int8_t, y 251. Explicar por qué los dos últimos coinciden.

Práctica 2 · El desborde existe

Declarar uint8_t a = 200, b = 100; y guardar a + b en un uint8_t. Predecir el resultado antes de imprimirlo (44). Repetir con int8_t y 100 + 100.

Práctica 3 · El float tiene cifras contadas

Sumar 0.1f diez veces en un float y comparar con 1.0f con ==. Imprimir con %.10f. Repetir con double y proponer una comparación correcta con tolerancia.

10Errores frecuentes

Leer los restos de arriba hacia abajo en las divisiones sucesivas: da el número espejado.
Agrupar los bits desde la izquierda para pasar a hexadecimal. Se agrupa desde la coma.
Olvidar el «+1» del complemento a dos, que es el complemento a uno.
Confundir acarreo con desborde. Uno interesa sin signo y el otro con signo.
Rellenar con ceros un número negativo al agrandarlo, en lugar de extender el signo.
Comparar reales con ==.

11Autoevaluación

Pasar 45 a binario, octal y hexadecimal.

45 = 10 1101₂ = 55₈ = 2D₁₆.

¿Qué valor tiene 1110 0110 sin signo y en complemento a dos?

Sin signo, 230. En complemento a dos, 230 − 256 = −26.

¿Cuál es el rango de un entero de 16 bits en complemento a dos?

De −32 768 a +32 767.

Al sumar 0111 0000 + 0101 0000, ¿qué banderas se encienden?

112 + 80 = 192 = 1100 0000. C = 0 (sin signo entra), V = 1 (dos positivos dieron un negativo: −64), N = 1, Z = 0.

¿Por qué el 0,5 se guarda exacto en un float y el 0,2 no?

0,5 = 2⁻¹ tiene desarrollo binario finito. 0,2 = 1/5 tiene un 5 en el denominador, que no es potencia de 2, y su desarrollo binario es periódico.

¿Qué número representa 0x41200000 en IEEE 754 simple?

Signo 0; exponente 1000 0010 = 130 → 2³; fracción 0100… = 0,25. x = 1,25 · 8 = 10.

¿Cómo se obtiene el valor numérico del carácter '8'?

Restándole '0': '8' − '0' = 56 − 48 = 8.

12Para ampliar

Thomas L. Floyd. Fundamentos de sistemas digitales. 9.ª ed., Pearson Prentice Hall, 2006. El capítulo 2 cubre sistemas de numeración, complemento a dos, BCD y códigos con muchísimos ejercicios.
M. Morris Mano. Diseño digital. 3.ª ed., Pearson Educación, 2003. Más formal: bases, complementos y códigos binarios como punto de partida del diseño lógico.
Randal E. Bryant y David R. O'Hallaron. Computer Systems: A Programmer's Perspective. 3.ª ed., Pearson, 2016 (en inglés). El capítulo 2 es la mejor explicación de cómo representa C enteros y flotantes, con sus trampas.
David Goldberg. What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic. ACM Computing Surveys, 23(1), 1991 (en inglés). El artículo clásico sobre por qué el punto flotante se porta como se porta.

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